Question

已知函數(shù)f(x)=

ex

x2-ax+a

．
（Ⅰ）當(dāng)0＜a＜4時(shí)，試判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)于任意的x∈（1，t]，恒有tf（x）-xf（t）≥f（x）-f（t），求t的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因?yàn)?span id="o1cpcec" class="MathJye">f′(x)=

ex(x2-ax+a)-ex(2x-a)

(x2-ax+a)2

=

[x2-(a+2)x+2a]ex

(x2-ax+a2)2

=

(x-2)(x-a)ex

(x2-ax+a)2

，令f'（x）=0，得x=a或2，由此能判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（Ⅱ）法一：依題意有（t-1）f（x）≥（x-1）f（t），由x∈（1，t]，知

f(x)

x-1

≥

f(t)

t-1

，設(shè)g(x)=

f(x)

x-1

=

ex

x2(x-1)

，而g（x）≥g（t）在（1，t]上恒成立，由此能求出t的最大值．
法二：由

f(x)

x-1

≥

f(t)

t-1

，其幾何意義是動(dòng)點(diǎn)P（x，f（x）），與定點(diǎn)A（1，0）連線的斜率，當(dāng)x=t時(shí)，取到最小值，由此能求出t的最大值．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)?span id="xx0qcbx" class="MathJye">f′(x)=

ex(x2-ax+a)-ex(2x-a)

(x2-ax+a)2

=

[x2-(a+2)x+2a]ex

(x2-ax+a2)2

=

(x-2)(x-a)ex

(x2-ax+a)2

，
令f'（x）=0，
∴x=a或2，
∴當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f（x）在（-∞，a）單調(diào)增，在（a，2）上單調(diào)減，在（2，+∞）上單調(diào)增；
當(dāng)a=2時(shí)，f（x）在（-∞，+∞）單調(diào)增；
當(dāng)2＜a＜4時(shí)，f（x）在（-∞，2）單調(diào)增，
在（2，a）上單調(diào)減，在（a，+∞）上單調(diào)增；
（Ⅱ）（方法一）依題意有（t-1）f（x）≥（x-1）f（t），
∵x∈（1，t]，∴

f(x)

x-1

≥

f(t)

t-1

，
設(shè)g(x)=

f(x)

x-1

=

ex

x2(x-1)

，
而g（x）≥g（t）在（1，t]上恒成立，
因?yàn)?span id="7xxq0jv" class="MathJye">g′(x)=

exx2(x-1)-ex(3x2-2x)

x4(x-1)2

=

ex(x2-4x+2)

x3(x-1)2

，
令g'（x）=0，∴x=2±

2

故g(x)在(1，2+

2

)上單調(diào)減，在(2+

2

，+∞)上單調(diào)增，
∴t≤2+

2

，即t的最大值為2+

2

．
（方法二）由

f(x)

x-1

≥

f(t)

t-1

，其幾何意義是動(dòng)點(diǎn)P（x，f（x）），
與定點(diǎn)A（1，0）連線的斜率．
當(dāng)x=t時(shí)，取到最小值，
設(shè)t的最大值為t₁，則

f(t1)

t1-1

=f′(t1)，
即

et1

t12(t1-1)

=

et1(t1-2)

t13

，
∴t12-4t1+2=0，∴t1=2±

2

，
又t₁＞1，∴t1=2+

2

，
即t的最大值為2+

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷與滿足條件的實(shí)數(shù)t的最大值的求法，綜合性強(qiáng)，難度較大，具有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求較高，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．