Question

證明：若在（a，b）內f″（x）＞0，則f（λ₁x₁+λ₂x₂）≤λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂），其中λ₁+λ₂=1．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：證明題,導數的綜合應用

分析：由題意可判斷f（x）是定義在閉區(qū)間[a，b]上凸函數，再由凸函數的定義證明．

解答： 證明：∵在（a，b）內f″（x）＞0，
∴f（x）是定義在閉區(qū)間[a，b]上凸函數；
而根據上凸函數的定義“f（x）是定義在閉區(qū)間[a，b]上的函數，若任意x，y∈[a，b]和任意λ∈（0，1），有f（λx+（1-λ）y）≤λf（x）+（1-λ）f（y）成立”；
故取x=x₁，y=x₂，λ=λ₁，1-λ=1-λ₁=λ₂，
而任意正數λ₁，λ₂，λ₁+λ₂=1，x₁、x₂∈（a，b）；
得不等式f（λ₁x₁+λ₂x₂）≤λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）對于任意的x₁，x₂∈（a，b）恒成立．

點評：本題考查了凸函數的判斷與凸函數的定義的應用及判斷，屬于基礎題．