Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，2AC=AA₁=BC=2．
（Ⅰ）若D為AA₁中點，求證：平面B₁CD⊥平面B₁C₁D；
（Ⅱ）若二面角B₁-DC-C₁的大小為60°，求AD的長．

Answer 1

【答案】分析：法一（Ⅰ）D為AA₁中點，證明B₁C₁⊥CD，CD⊥DC₁，推出CD⊥平面B₁C₁D，即可證明平面B₁CD⊥平面B₁C₁D；
（Ⅱ）在面ACC₁A₁內(nèi)過C₁作C₁E⊥CD，交CD或延長線或于E，連EB₁，
說明∠B₁EC₁為二面角B₁-DC-C₁的平面角為60°，通過面積求AD的長．
法二：（Ⅰ）如圖，以C為原點，CA、CB、CC₁所在直線為x，y，z軸和建立空間直角坐標系．通過計算，證明CD⊥平面B₁C₁D，可得平面B₁CD⊥平面B₁C₁D
（Ⅱ）設AD=a，則D點坐標為（1，0，a），求出平面B₁CD的法向量，平面，
利用求出a的值，即可．
解答：解法一：（Ⅰ）∵∠A₁C₁B₁=∠ACB=90°，∴B₁C₁⊥A₁C₁，
又由直三棱柱性質(zhì)知B₁C₁⊥CC₁，
∴B₁C₁⊥平面ACC₁A₁．
∴B₁C₁⊥CD①（3分）
由D為中點可知，DC=DC₁=，
∴DC²+DC₁²=CC₁²即CD⊥DC₁②（5分）
由①②可知CD⊥平面B₁C₁D又CD?平面B₁CD，故平面B₁CD⊥平面B₁C₁D．（6分）
（Ⅱ）由（1）可知B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，如圖，在面ACC₁A₁內(nèi)過C₁作C₁E⊥CD，交CD或延長線或于E，連EB₁，
由三垂線定理可知∠B₁EC₁為二面角B₁-DC-C₁的平面角，（8分）
∴∠B₁EC₁=60°．
由B₁C₁=2知，，（10分）
設AD=x，則．∵△DC₁C₁的面積為1，∴，
解得x=．（12分）
解法二：（Ⅰ）如圖，以C為原點，CA、CB、CC₁所在直線為x，y，z軸和建立空間直角坐標系．
則C（0，0，0），A（1，0，0），B₁（0，2，2），C₁（0，0，2），D（1，0，1）
即
由，
得CD⊥C₁B；
由
得CD⊥DC₁；又DC₁∩C₁B=C₁，
∴CD⊥平面B₁C₁D．又CD?平面B₁CD，
∴平面B₁CD⊥平面B₁C₁D（6分）
（Ⅱ）設AD=a，則D點坐標為（1，0，a），，
設平面B₁CD的法向量為．
則由．
得，又平面，
則由，
故AD=．（12分）
點評：本題考查平面與平面垂直的判定，二面角及其度量，考查邏輯思維能力，空間想象能力，是中檔題．