【答案】
分析:解法1:(I)連AQ,設(shè)BQ=t,則CQ=a-t,解Rt△ABQ,Rt△CDQ,可求出AQ,DQ(均含參數(shù)t),在Rt△ADQ中,由勾股定理,我們可以得到一個關(guān)于t和a的方程,進而由基本不等式得到a的取值范圍;
(Ⅱ)過Q作QM∥CD交AD于M,過M作MN⊥PD于N,連接NQ,則∠MNQ是二面角A-PD-Q的平面角,解三角形MNQ,即可得到二面角A-PD-Q的余弦值.
解法2:(I)以
為x、y、z軸建立如圖的空間直角坐標系,設(shè)Q(t,2,0)(t>0),可得到向量
,
的坐標(均含參數(shù)t),由PQ⊥QD,可得
•
=0,由此可構(gòu)造一個關(guān)于t和a的方程,進而由基本不等式得到a的取值范圍;
(II)分別求出平面PQD的法向量和平面PAD的法向量,代入向量夾角公式,即可得到二面角A-PD-Q的余弦值.
解答:解:法1:(Ⅰ)如圖,連AQ,由于PA⊥平面ABCD,則由PQ⊥QD,必有AQ⊥DQ.(2分)
設(shè)BQ=t,則CQ=a-t,
在Rt△ABQ中,有
.
在Rt△CDQ中,有
.(4分)
在Rt△ADQ中,有AQ
2+DQ
2=AD
2.
即t
2+4+(a-t)
2+4=a
2,即t
2-at+4=0.
∴
.
故a的取值范圍為[4,+∞).(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,當t=2,a=4時,邊BC上存在唯一點Q(Q為BC邊的中點),使PQ⊥QD.(8分)
過Q作QM∥CD交AD于M,則QM⊥AD.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥QM.∴QM⊥平面PAD.
過M作MN⊥PD于N,連接NQ,則QN⊥PD.
∴∠MNQ是二面角A-PD-Q的平面角.(10分)
在等腰直角三角形PAD中,可求得
,又MQ=2,進而
.(12分)
∴
.
故二面角A-PD-Q的余弦值為
(14分)
法2:(Ⅰ)以
為x、y、z軸建立如圖的空間直角坐標系,
則B(0,2,0),C(a,2,0),D(a,0,0),
P(0,0,4),(2分)
設(shè)Q(t,2,0)(t>0),則
=(t,2,-4),
=(t-a,2,0).(4分)
∵PQ⊥QD,∴
=0.
即t
2-at+4=0.
∴
.
故a的取值范圍為[4,+∞).(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,當t=2,a=4時,邊BC上存在唯一點Q,使PQ⊥QD.
此時Q(2,2,0),D(4,0,0).(8分)
設(shè)n=(x,y,z)是平面PQD的法向量,
由
,得
.
取z=1,則n=(1,1,1)是平面PQD的一個法向量.(10分)
而
是平面PAD的一個法向量,(12分)
由
.
∴二面角A-PD-Q的余弦值為
.(14分)
點評:本題考查的知識點是用空間向量求平面間的,向量語言表述線線的垂直關(guān)系,二面角的夾角角及求法,方法一的關(guān)鍵是熟練掌握線線垂直的判定及二面角的平面角的構(gòu)造方法;方法二的關(guān)鍵是建立空間坐標系,將線線垂直及二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題.