已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是菱形；PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：PA∥平面BFD；

(Ⅱ)求二面角P―BF―D的大�。�

答案：
解析：

　　(Ⅰ)證明：連結(jié)，與交于點(diǎn)，連結(jié)．是菱形，∴是的中點(diǎn)．點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴．平面平面，∴平面．

　　(Ⅱ)解法一：

　　平面，平面，∴.

　　，∴．是菱形，∴．

　　，

　　∴平面．

　　作，垂足為，連接，則，

　　所以為二面角的平面角．

　　，∴，．

　　在Rt△中，＝，∴．

　　∴二面角的大小為

　　二面角的平面角與二面角的平面角互補(bǔ)

　　∴二面角的大小為－

　　解法二：如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，令，

　　則，，．

　　∴．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

　　由，得，

　　令，則，∴．

　　平面，平面，

　　∴．

　　，∴．

　　是菱形，∴．

　　，∴平面．

　　∴是平面的一個(gè)法向量，．

　　∴，

　　∴，∴．13分

　　∴二面角的大小為

　　∴二面角的大小為－．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

9、已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，
平面PBC垂直平面ABCD，試探求直線(xiàn)PA與BD的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動(dòng)直線(xiàn)PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．
（1）求證：AB∥平面PCD
（2）求證：BC⊥平面PAC
（3）求二面角A-PC-D的平面角a的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點(diǎn)．
（1）證明：AE⊥PD；
（2）設(shè)AB=2，若H為線(xiàn)段PD上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD所成的最大角的正切值為
6
2
，求此時(shí)異面直線(xiàn)AE和CH所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點(diǎn)．
（1）證明：AE⊥PD；
（2）設(shè)AB=2，若H為線(xiàn)段PD上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD所成的最大角的正切值為
6
2
，求AP的長(zhǎng)度．

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