Question

已知a為實數(shù)，f（x）=（x²-4）（x-a）．
（1）若f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）上都是遞增的，求a的取值范圍．
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+ax²在定義域內(nèi)有三個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）原條件等價于∈（-∞，-2]時，f'（x）=3x²-2ax-4≥0，即：a≥

3x2-4

2x

恒成立；且x∈[2，+∞）時，f'（x）=3x²-2ax-4≥0，即：a≤

3x2-4

2x

也恒成立．求出右邊的最值，即可；
（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間和極值，原條件等價為極大值大于0且極小值小于0，解出不等式即可．

解答： 解：（1）∵f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）上都是遞增的，
∴x∈（-∞，-2]時，f'（x）=3x²-2ax-4≥0，即：a≥

3x2-4

2x

恒成立；
且x∈[2，+∞）時，f'（x）=3x²-2ax-4≥0，即：a≤

3x2-4

2x

也恒成立；
令g(x)=

3x2-4

2x

=

1

2

(3x-

4

x

)，則x∈（-∞，-2]時，g（x）為增函數(shù)，
g（x）_max=-2；x∈[2，+∞）時，g（x）為增函數(shù)，g（x）_min=2
∴-2≤a≤2，故a的取值范圍為[-2，2]．
（2）∵g（x）=f（x）+ax²=x³-4x+4a，得g'（x）=3x²-4，
令g′（x）=0，得x=±

2 3

3

，
當(dāng)x變化時，g'（x），g（x）的變化情況如下表：

x	(-∞，- 2 3 3 )	- 2 3 3	(- 2 3 3 ， 2 3 3 )	2 3 3	( 2 3 3 ，+∞)
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴g(x)極大值=g(-

2 3

3

)=

16 3

9

+4a
∴g(x)極小值=g(-

2 3

3

)=-

16 3

9

+4a
∵g（x）在R上有三個零點，則∴

g(x)極大值＞0 g(x)極小值＜0

即

16 3 9 +4a＞0 - 16 3 9 +4a＜0

∴-

4 3

9

＜a＜

4 3

9

．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求單調(diào)區(qū)間和求極值，考查分離參數(shù)和函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，考查運算能力，屬于中檔題．