Question

已知橢圓E經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在X軸上，離心率e=

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓E的右頂點(diǎn)為B，直線l過左焦點(diǎn)F₁且垂直于X軸，交橢圓于M、N兩點(diǎn)，求△BMN的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用離心率e=

1

2

，可得b²=3c²，設(shè)橢圓方程為

x2

4c2

+

y2

3c2

=1把A（2，3）代入，即可求橢圓E的方程；
（Ⅱ）求出M，N的坐標(biāo)，|BF₁|=a+c=6，即可求△BMN的面積．

解答： 解：（Ⅰ）由e=

c

a

=

1

2

⇒a2=4c2，∴b²=3c²
于是可設(shè)橢圓方程為

x2

4c2

+

y2

3c2

=1把A（2，3）代入得c²=4
∴所求橢圓E的方程為

x2

16

+

y2

12

=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a=4，c=2，
∴左焦點(diǎn)F₁（-2，0），B（4，0），|BF₁|=a+c=6
把x=-2代入方程得M（-2，3）、N（-2，-3），
∴△BMN的面積=

1

2

|MN|•|BF1|=

1

2

×6×6=18．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，難度中等．