Question

22、對(duì)于函數(shù)f（x），若f（x）=x，則稱(chēng)x為f（x）的“不動(dòng)點(diǎn)”，若f（x）=ax²+（b+1）x+b-2（a≠0）．
（1）若a=2，b=-2，求f（x）的不動(dòng)點(diǎn)；
（2）若f（x）有兩個(gè)不等的不等點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）不動(dòng)點(diǎn)的定義，若f（x）=x，則稱(chēng)x為f（x）的“不動(dòng)點(diǎn)”，結(jié)合f（x）=ax²+（b+1）x+b-2（a≠0），a=2，b=-2，我們可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，解方程，即可求出f（x）的不動(dòng)點(diǎn)．
（2）若f（x）有兩個(gè)不等的不等點(diǎn)，則方程f（x）=x有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，由一元二次方程根的個(gè)數(shù)與△的關(guān)系，我們不難得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：∵f（x）=ax²+（b+1）x+b-2（a≠0）
（1）當(dāng)a=2，b=-2時(shí)，f（x）=2x²-x-4
設(shè)x為其不動(dòng)點(diǎn)，即2x²-x-4=x
則2x²-2x-4=0
∴x₁=-1，x₂=2，即f（x）的不動(dòng)點(diǎn)是-1，2．
（2）由f（x）=x得：ax²+bx+b-2（a≠0）
由已知，此方程有相異二實(shí)根，
△＞0恒成立，即
即b²-4ab+8a＞0恒成立．
∴16a²-32a＜0
解得：0＜a＜2

點(diǎn)評(píng)：這是一道新運(yùn)算類(lèi)的題目，其特點(diǎn)一般是“新”而不“難”，處理的方法一般為：根據(jù)新運(yùn)算的定義，將已知中的數(shù)據(jù)代入進(jìn)行運(yùn)算，易得最終結(jié)果．