Question

【題目】某企業(yè)有，兩個分廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，規(guī)定該產(chǎn)品的某項質(zhì)量指標值不低于130的為優(yōu)質(zhì)品．分別從，兩廠中各隨機抽取100件產(chǎn)品統(tǒng)計其質(zhì)量指標值，得到如圖頻率分布直方圖：

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，分別求出分廠的質(zhì)量指標值的眾數(shù)和中位數(shù)的估計值；

（2）填寫列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認為這兩個分廠的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？

	優(yōu)質(zhì)品	非優(yōu)質(zhì)品	合計
合計

（3）（i）從分廠所抽取的100件產(chǎn)品中，利用分層抽樣的方法抽取10件產(chǎn)品，再從這10件產(chǎn)品中隨機抽取2件，已知抽到一件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的條件下，求抽取的兩件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品的概率；

（ii）將頻率視為概率，從分廠中隨機抽取10件該產(chǎn)品，記抽到優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)為，求的數(shù)學期望．

附：

	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析；(3)(i);(Ⅱ)答案見解析.

【解析】分析：第一問首先利用眾數(shù)和中位數(shù)定義，得到直方圖中最高的那條對應的組中值就是眾數(shù)，利用中位數(shù)的兩邊對應的條的面積是相等的，求得中位數(shù)；結(jié)合題中的條件，填完列聯(lián)表，之后應用公式求得的觀測值，與表中的值相比較，得到是否有把握認為其有沒有關(guān)系；第三問利用概率公式求得結(jié)果，分析變量的取值以及對應的概率列出分布列，應用離散型隨機變量的分布列的期望公式求得結(jié)果.

詳解：（1）分廠的質(zhì)量指標值的眾數(shù)的估計值為，

設分廠的質(zhì)量指標值的中位數(shù)的估計值為，則

，解得．

（2）列聯(lián)表：

	優(yōu)質(zhì)品	非優(yōu)質(zhì)品	合計
	5	95	100
	20	80	100
合計	25	175	200

由列聯(lián)表可知的觀測值為：

，

所以有的把握認為兩個分廠的產(chǎn)品質(zhì)量有差異．

（3）（i）依題意，廠的100個樣本產(chǎn)品利用分層抽樣的方法抽出10件產(chǎn)品中，優(yōu)質(zhì)品有2件，非優(yōu)質(zhì)品有8件，

設“從這10件產(chǎn)品中隨機抽取2件，已知抽到一件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品”為事件，“從這10件產(chǎn)品中隨機抽取2件，抽取的兩件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品”為事件，則，

所以已知抽到一件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的條件下，抽取的兩件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品的概率是．

（ii）用頻率估計概率，從分廠所有產(chǎn)品中任取一件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率為0.20，所以隨機變量服從二項分布，即，

則．