Question

已知函數(shù)f（x）=（2-a）x-2lnx，（a∈R）
（I）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，即f′（1）═0，可求a的值；
（II）由（I）得，x=可能為f（x）的極值點(diǎn)，下面對(duì)a的值進(jìn)行分類討論：（1）當(dāng)a=2時(shí)（2）當(dāng)a＞2時(shí)（3）當(dāng)a＜2時(shí)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
解答：解：由題意知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）
（I）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=2-a-，令f′（x）=0得2-a-=0，
∵函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，∴f′（1）=2-a-2=0
∴a=0；
（II）由（I）得，x=可能為f（x）的極值點(diǎn)，
（1）當(dāng)a=2時(shí)，f′（x）=-＜0，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，+∞），
（2）當(dāng)a＞2時(shí)，f′（x）=2-a-在（0，+∞）上小于0，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，+∞），
（3）當(dāng)a＜2時(shí)，f′（x）=2-a-，當(dāng)x＞時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)增，當(dāng)x＜時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)減，
綜上，當(dāng)a≥2時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，+∞），當(dāng)a＜2時(shí)，f（x）單調(diào)增區(qū)間（，+∞），f（x）單調(diào)減區(qū)間（0，）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值與單調(diào)性，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．