Question

已知點(diǎn)P是曲線y＝x²－ln x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l：y＝x－2的距離的最小值為________．

Answer 1

[解析]　通解：設(shè)P(x，y)，則點(diǎn)P到直線l的距離為

令h(x)＝x＋ln x－x²－2，則h′(x)＝1＋－2x(x>0)．令1＋－2x＝0，解得x＝1，即當(dāng)0<x<1時(shí)，h′(x)>0，此時(shí)h(x)為增函數(shù)；當(dāng)x>1時(shí)，h′(x)<0，此時(shí)h(x)為減函數(shù)．所以當(dāng)x＝1時(shí)，h(x)取最大值，h(x)_max＝1＋ln 1－1²－2＝－2，所以|x＋ln x－x²－2|_min＝2，所以點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為＝.

優(yōu)解：y′＝2x－(x>0)，因?yàn)閷⒅本�l平移到與曲線第一次相切時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離最小，即為切點(diǎn)到直線l的距離，而直線l：y＝x－2的斜率為1，所以令2x－＝1，解得x＝1(x＝－舍去)，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，它到直線y＝x－2的距離為＝，即點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為.