Question

在平面內(nèi)有n（n∈N⁺，n≥3）條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過(guò)同一點(diǎn)，若這n條直線把平面分成f（n）個(gè)平面區(qū)域．
則f（5）的值是

16

；f（n）-f（n-1）=

n-1

．

Answer 1

分析：先求出幾個(gè)特殊的值，再分析前k條直線與第k+1條直線，把平面分成的區(qū)域之間的關(guān)系，歸納出關(guān)系式f（k+1）-f（k）=k+1，再根據(jù)數(shù)列求和求出f（n）的關(guān)系式，問(wèn)題解決．

解答：解：一條直線（k=1）把平面分成了2部分，記為f（1）=2，f（2）=4，f（3）=7，…
設(shè)前k條直線把平面分成了f（k）部分，第k+1條直線與原有的k條直線有k個(gè)交點(diǎn)，這k個(gè)交點(diǎn)將第k+1條直線分為k+1段，這k+1段將平面上原來(lái)的f（k）部分的每一部分分成了2個(gè)部分，共2（k+1）部分，相當(dāng)于增加了k+1個(gè)部分，
∴第k+1條直線將平面分成了f（k+1）部分，則f（k+1）-f（k）=k+1，令k=1，2，3，…．n得
f（2）-f（1）=2，f（3）-f（2）=3，…，f（n）-f（n=1）=n，把這n-1個(gè)等式累加，得 f（n）=2+

(n+2)(n+1)

2

部分．
所以f（5）=16，f（n）-f（n-1）=n-1
故答案為：16，n-1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了歸納推理，以及數(shù)列遞推式，屬于基礎(chǔ)題．所謂歸納推理，就是從個(gè)別性知識(shí)推出一般性結(jié)論的推理．