Question

已知函數(shù)f（x）=x³+2x²+x．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（II）若對(duì)于任意x∈（0，+∞），f（x）≥ax²恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再令導(dǎo)數(shù)大于0求出單調(diào)增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0求出函數(shù)的減區(qū)間，再由極值的定義判斷出極值即可；
（II）若對(duì)于任意x∈（0，+∞），f（x）≥ax²恒成立，則必有a≤

f(x)

x2

對(duì)于任意x∈（0，+∞），恒成立，易求．

解答：解：（I）∵f'（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1）
令f'（x）＞0得x＞-

1

3

或x＜-1
故函數(shù)在（-∞，-1）與（-

1

3

，+∞）是增函數(shù)，在（-1，-

1

3

）是減函數(shù)，故函數(shù)在x=-1處取到極大值，在x=-

1

3

處取到極小值
極大值為0，極小值-

4

27

（II）若對(duì)于任意x∈（0，+∞），f（x）≥ax²恒成立，則必有a≤

f(x)

x2

=x+

1

x

+2對(duì)于任意x∈（0，+∞），恒成立，
∵x+

1

x

+2≥4，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

x

=1時(shí)成立
∴a≤4
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍（-∞，4]

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及由函數(shù)恒成立的問(wèn)題求參數(shù)的取值范圍，求解本題關(guān)鍵是記憶好求導(dǎo)的公式以及極值的定義，對(duì)于函數(shù)的恒成立的問(wèn)題求參數(shù)，要注意正確轉(zhuǎn)化，恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化可以大大降低解題難度．