Question

已知函數(shù)f（x）=

x+a

x+1

（x≥0）的最小值為2

2

，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：化簡(jiǎn)f（x），令t=

x+1

（t≥1）．則y=t+

a-1

t

，討論a＞1，a=1，a＜1，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值，解方程求出a，注意范圍，即可得到．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

x+a

x+1

（x≥0），
即為f（x）=

x+1+a-1

x+1

=

x+1

+

a-1

x+1

，
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）最小值為1；
令t=

x+1

（t≥1）．則y=t+

a-1

t

，
當(dāng)a＞1時(shí)，y=t+

a-1

t

在0＜t＜

a-1

上遞減，t＞

a-1

上遞增，
若1≤

a-1

，即a≥2，則取最小值2

a-1

，由2

a-1

=2

2

，解得a=3成立；
若1＞

a-1

，即a＜2，則取最小值1+a-1=a，即a=2

2

，不成立；
當(dāng)a＜1時(shí)，則y=t+

a-1

t

在t≥1遞增，即最小值為a，即a=2

2

，不成立．
綜上，a=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性和運(yùn)用，考查基本不等式的運(yùn)用，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．