Question

已知函數(shù)f（x）=log_0.5^{（2sinx-1）}．
（Ⅰ）寫出它的值域．
（Ⅱ）寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅲ）判斷它是否為周期函數(shù)？如果它是一個周期函數(shù)，寫出它的最小正周期．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由-1≤sinx≤1求出真數(shù)的范圍，再由y=log_0.5^x的單調(diào)性求出函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）由2sinx-1＞0和正弦曲線求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)y=2sinx-1和y=log_0.5^x的單調(diào)性，由“同增異減”法則，求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）根據(jù)正弦函數(shù)的周期性和最小正周期，求出此函數(shù)具有周期性和最小正周期．

解答：解：（Ⅰ）由2sinx-1＞0和-1≤sinx≤1得，

1

2

＜sinx≤1，
則0＜2sinx-1≤1，∵函數(shù)y=log_0.5^x在定義域上是減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）的值域是[0，+∞）；（4分）
（Ⅱ）令y=2sinx-1，由2sinx-1＞0得，sinx＞

1

2

，
解得2kπ+

π

6

＜x＜2kπ+

5π

6

，即函數(shù)的定義域是（2kπ+

π

6

，2kπ+

5π

6

）（k∈Z），
∵函數(shù)y=2sinx-1在（2kπ+

π

6

，2kπ+

π

2

]（k∈Z）上是減函數(shù)，
在[2kπ+

π

2

，2kπ+

5π

6

)（k∈Z）上是增函數(shù)；
又∵函數(shù)y=log_0.5^x在定義域上是減函數(shù)，
∴所求的減區(qū)間是（2kπ+

π

6

，2kπ+

π

2

]，增區(qū)間是[2kπ+

π

2

，2kπ+

5π

6

)
（Ⅲ）f（x）是周期函數(shù)；由y=sinx是周期函數(shù)知，此函數(shù)也是周期函數(shù)，且最小正周期是2π．

點(diǎn)評：本題中的函數(shù)是由對數(shù)函數(shù)和正弦函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，根據(jù)真數(shù)大于零求出函數(shù)的定義域，根據(jù)正弦函數(shù)的值域和周期，求出函數(shù)的值域和周期，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出單調(diào)區(qū)間．