已知雙曲線(xiàn)C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，直線(xiàn)l：y=
3
(x-4)關(guān)于直線(xiàn)l1：y=
b
a
x對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)l′與x軸平行．
（1）求雙曲線(xiàn)的離心率；
（2）若點(diǎn)M（4，0）到雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)P的最小距離等于1，求雙曲線(xiàn)的方程．
（1）∵雙曲線(xiàn)C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，
直線(xiàn)l：y=
3
(x-4)關(guān)于直線(xiàn)l1：y=
b
a
x對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)l′與x軸平行，
∴k=
3
，k1=
b
a
，k′=0，
∴|
3
-
b
a
1+
3
•
b
a
|=|
0-
b
a
1-0•
b
a
|，
解得
b
a
=
3
3
，或
b
a
=-
3
（舍）．
∴
b
a
=
3
3
，∴e=
c2
a2
=
1+
b2
a2
=
1+
1
3
=
2
3
3
．
∴雙曲線(xiàn)的離心率e=
2
3
3
．
（2）∵
b
a
=
3
3
，∴a2=3b2，∴設(shè)雙曲線(xiàn)為
x2
3b2
-
y2
b2
=1，
∵點(diǎn)M（4，0）到雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)P的最小距離等于1，
∴|
3
b-4|=1，
解得
3
b=5，或
3
b=3．
當(dāng)
3
b=5時(shí)，b=
5
3
，∴b2=
25
3
，3b2=25，
雙曲線(xiàn)方程為
x2
25
-
3y2
25
=1；
當(dāng)
3
b=3時(shí)，b=
3
，b2=3，3b2=9，
雙曲線(xiàn)方程為
x2
9
-
y2
3
=1．
∴雙曲線(xiàn)的方程為
x2
25
-
3y2
25
=1或
x2
9
-
y2
3
=1．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
2
2
，A1，A2分別是橢圓C的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓C的右焦點(diǎn)．點(diǎn)D是x軸上位于A2右側(cè)的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足
1
|A1D|
+
1
|A2D|
=
2
|FD|
=2．
（1）求橢圓C的方程以及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線(xiàn)n，再作直線(xiàn)l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P，直線(xiàn)l交直線(xiàn)n于點(diǎn)Q．求證：以線(xiàn)段PQ為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

直線(xiàn)l：y=ax+1與雙曲線(xiàn)3x2-y2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
（1）求a的取值范圍；
（2）設(shè)交點(diǎn)為A，B，是否存在直線(xiàn)l使以AB為直徑的圓恰過(guò)原點(diǎn)，若存在就求出直線(xiàn)l的方程，若不存在則說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸且開(kāi)口向右的拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)M（4，-4）．
（1）求拋物線(xiàn)的方程；
（2）過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)A、B，若|AB|=8，求直線(xiàn)l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），已知點(diǎn)（1，e）和（e，
3
2
）都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且直線(xiàn)AF1與直線(xiàn)BF2平行，若|AF1|-|BF2|=
6
2
，求直線(xiàn)AF的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓M、拋物線(xiàn)N的焦點(diǎn)均在x軸上的，且M的中心和M的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)O，從每條曲線(xiàn)上取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：
x3-24
2
y-2
3
0-4
2
2
（Ⅰ）求M，N的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知定點(diǎn)A（1，
1
2
），過(guò)原點(diǎn)O作直線(xiàn)l交橢圓M于B，C兩點(diǎn)，求△ABC面積的最大值和此時(shí)直線(xiàn)l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

過(guò)橢圓
x2
6
+
y2
5
=1內(nèi)的一點(diǎn)P（2，-1）的弦，恰好被點(diǎn)P平分，則這條弦所在直線(xiàn)方程（　　）
A．y=
5
3
x-
5
6
B．y=
5
3
x-
13
3
C．y=-
5
3
x+
5
6
D．y=
5
3
x+
11
6

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

y軸上兩定點(diǎn)B1（0，b）、B2（0，-b），x軸上兩動(dòng)點(diǎn)M，N．P為B1M與B2N的交點(diǎn)，點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)分別為XM、XN，且始終滿(mǎn)足XMXN=a2（a＞b＞0且為常數(shù)），試求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知拋物線(xiàn)y2=-x與直線(xiàn)y=k（x+1）相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求證：OA⊥OB；
（2）當(dāng)△OAB的面積等于
10
時(shí)，求k的值．

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