定義域均為R的奇函數(shù)f (x)與偶函數(shù)g (x)滿足f (x)+g (x)=10x
(1)求函數(shù)f(x)與g(x)的解析式;
(2)證明:g(x1)+g(x2)≥2g();
(3)試用f(x1),f(x2),g(x1),g(x2)表示f(x1-x2)與g(x1+x2).
【答案】分析:(1)由題意可得:f(x)+g(x)=10x,再根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得:f(-x)+g(-x)=10-x=-f(x)+g(x),進而結(jié)合兩個式子求出兩個函數(shù)的解析式.
(2)(法一)由(1)可得g(x1)+g(x2)的表達(dá)式,再利用基本不等式把g(x1)+g(x2)進行化簡整理即可得到答案.
(法二))要證明原不等式成立,只要證g(x1)+g(x2)-2g()≥0即可
(3)由(1)可得f(x1)、f(x2)、g(x1)、g(x2)、f(x1-x2)與g(x1+x2)的表達(dá)式與結(jié)構(gòu)特征,進而可求
解答:解:(1)∵f(x)+g(x)=10x ①
∴f(-x)+g(-x)=10-x,
∵f(x)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù)
∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x)
∴-f(x)+g(x)=10-x ②
由①,②解得f(x)=(10x-),g(x)=(10x+).
(2)解法一:
=
==
(法二)∵g(x1)+g(x2)-2g()=-(
=
==0
∴g(x1)+g(x2)≥2g(
(3))∵f(x)=(10x-),g(x)=(10x+).
∴f(x1-x2)=
=
=
=
=f(x1)g(x2)-g(x1)f(x2
同理可得,g(x1+x2)==g(x1)g(x2)-f(x1)f(x2).
點評:本題主要考查函數(shù)的性質(zhì):函數(shù)的解析式,奇偶性,單調(diào)性等性質(zhì),函數(shù)與指對式的化簡變形結(jié)合起來,此題綜合性較強,屬于難題,考查學(xué)生綜合應(yīng)用知識的能力.
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定義域均為R的奇函數(shù)f(x)與偶函數(shù)g(x)滿足f(x)+g(x)=10x
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)與g(x)的解析式;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的反函數(shù);
(Ⅲ)證明:g(x1)+g(x2)≥2g(
x1+x22
);
*(Ⅳ)試用f(x1),f(x2),g(x1),g(x2)表示f(x1-x2)與g(x1+x2).

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(2)證明:g(x1)+g(x2)≥2g(
x1+x22
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(Ⅰ)求函數(shù)f(x)與g(x)的解析式;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的反函數(shù);
(Ⅲ)證明:g(x1)+g(x2)≥2g();
*(Ⅳ)試用f(x1),f(x2),g(x1),g(x2)表示f(x1-x2)與g(x1+x2).

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(Ⅰ)求函數(shù)f(x)與g(x)的解析式;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的反函數(shù);
(Ⅲ)證明:g(x1)+g(x2)≥2g();
*(Ⅳ)試用f(x1),f(x2),g(x1),g(x2)表示f(x1-x2)與g(x1+x2).

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