Question

已知函數(shù)f（x）=2 ^x+1+

a

2x-1

（a∈R，且a≠0）
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，判斷f（x）在R上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并說明理由；
（2）判斷f（x）奇偶性．

Answer 1

分析：（1）令a=-1，可得f（x）=2 ^x+1-（

1

2

）^x-1，根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)“增”-“減”=“增”可得結(jié)論；
（2）由已知中函數(shù)f（x）=2 ^x+1+

a

2x-1

，可得f（-x）=2^-x+1+

a

2-x-1

=2^-x+1+a（2^x+1），分別討論a=1，a=-1和a≠±1三種情況可得答案．

解答：解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）在R上是增函數(shù)，理由如下
∵函數(shù)f（x）=2 ^x+1+

a

2x-1

（a∈R，且a≠0）
∴當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=2 ^x+1-

1

2x-1

=2 ^x+1-（

1

2

）^x-1，
∵函數(shù)y=2^x+1為增函數(shù)，y=（

1

2

）^x-1為減函數(shù)
由函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)“增函數(shù)”-“減函數(shù)”=“增函數(shù)”
故f（x）=2 ^x+1-（

1

2

）^x-1為增函數(shù)
（2）∵函數(shù)f（x）=2^x+1+

a

2x-1

（a∈R，且a≠0）
∴函數(shù)的定義為R
而f（-x）=2^-x+1+

a

2-x-1

=2^-x+1+a（2^x+1）
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=f（-x），此時(shí)函數(shù)為偶函數(shù)
當(dāng)a=-1時(shí)，-f（x）=f（-x），此時(shí)函數(shù)為奇函數(shù)
當(dāng)a≠±1時(shí)，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)奇偶性的判斷，其中熟練掌握函數(shù)奇偶性及單調(diào)性的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．