Question

（2013•西城區(qū)一模）已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n．若an+1=

an 2 ， an是偶數(shù) 3an+1，an是奇數(shù)

且S₃=29，則a₁=

5

；S_3n=

7n+22

．

Answer 1

分析：通過(guò)對(duì)a₁分4k，4k+1，4k+2，4k+3（k∈N^*）討論，及與已知條件，結(jié)合S₃=29，即可求出a₁；通過(guò)求出a₁，a₂，…，a₉，知道：從a₄開(kāi)始數(shù)列{a_n}是一個(gè)周期為3的數(shù)列，進(jìn)而即可得到S_3n．

解答：解：（1）①若a1=4k(k∈N*)，則a₂=2k，a₃=k，∴S₃=a₁+a₂+a₃=7k=29，k=

29

7

不是整數(shù)，舍去；
②若a₁=4k+1，則a₂=3（4k+1）+1=12k+4，a₃=6k+2，∴S₃=a₁+a₂+a₃=22k+7=29，解得k=1，∴a₁=5．
③若a₁=4k+2，則a2=

a1

2

=2k+1，a₃=3a₂+1=3（2k+1）+1=6k+4，則S₃=a₁+a₂+a₃=12k+7=29，解得k=

11

6

，應(yīng)舍去；
④若a₁=4k+3，則a₂=3（4k+3）+1=12k+10，a3=

a2

2

=6k+5，則S₃=a₁+a₂+a₃=22k+18=29，解得k=

1

2

不是整數(shù)，舍去．
綜上可得：a₁=5
（2）∵a₁=5，a₂=16，a₃=8，∴a₄=4，a₅=2，a₆=1，a₇=4，a₈=2，a₉=1…．
可以看到：從a₄開(kāi)始數(shù)列{a_n}是一個(gè)周期為3的數(shù)列，即a_n+3=a_n，（n≥4）．
因此，當(dāng)n≥2時(shí)，S_3n=29+7（n-1）=7n+22，當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立，故S_3n=7n+22．

點(diǎn)評(píng)：數(shù)列掌握分類討論的思想方法和數(shù)列的周期性是解題的關(guān)鍵．