Question

已知a＞0，且a≠1，f(logax)=

a

a2-1

(x-

1

x

)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷并證明f（x）的奇偶性與單調(diào)性；
（3）對(duì)于f（x），當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，有f（1-m）+f（1-m²）＜0，求實(shí)數(shù)m的集合M．

Answer 1

分析：（1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合換元法令t=log_ax，從而推出x=a^t，導(dǎo)出f（t）后，直接把f（t）中的變量t都換成x就得到f（x）．
（2）求出f（-x），然后把f（-x）和f（x）進(jìn)行比較，若f（-x）=f（x），則f（x）是奇函數(shù)；若f（-x）=-f（x），則f（x）是偶函數(shù)；若f（-x）≠±f（x），則f（x）是非奇非偶函數(shù)．利用單調(diào)函數(shù)的定義和性質(zhì)證明單調(diào)性．
（3）結(jié)合f（x）的奇偶性與單調(diào)性進(jìn)行求解．y=f（x），（x∈R）既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，故由f（1-m）+f（1-m²）＜0可知f（1-m）＜-f（1-m²），即f（1-m）＜f（m²-1），再y=f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)求解m的取值范圍．

解答：解：（1）令t=log_ax（t∈R），
則x=a^t，f(t)=

a

a2-1

(at-a-t)．
∴f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)（x∈R）．
（2）∵f(-x)=

a

a2-1

(a-x-ax)=-

a

a2-1

(ax-a-x)=-f(x)，且x∈R，
∴f（x）為奇函數(shù)．
當(dāng)a＞1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y=a^x是增函數(shù)，y=(

1

a

)x=a-x是減函數(shù)，y=-a^-x是增函數(shù)．
∴y=a^x-a^-x為增函數(shù)，
又因?yàn)?span id="izlibgj" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

a

a2-1

＞0，
∴f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)，（x∈R）是增函數(shù)．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y=a^x是減函數(shù)，
y=(

1

a

)x=a-x是增函數(shù)，y=-a^-x是減函數(shù)．
∴u（x）=a^x-a^-x為減函數(shù)．
又因?yàn)?span id="nqwcm6y" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

a

a2-1

＜0，
∴f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)，（x∈R）是增函數(shù)．
綜上可知，在a＞1或0＜a＜1時(shí)，y=f（x），（x∈R）都是增函數(shù)．
（3）由（2）可知y=f（x），（x∈R）既是奇函數(shù)又是增函數(shù)．
∵f（1-m）+f（1-m²）＜0，
∴f（1-m）＜-f（1-m²），
又y=f（x），（x∈R）是奇函數(shù)，
∴f（1-m）＜f（m²-1），，
因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，
∴-1＜1-m＜m²-1＜1，
解之得：1＜m＜

2

．

點(diǎn)評(píng)：合理選取函數(shù)的性質(zhì)能夠有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算．