Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a、b、c、d∈R）滿足：x∈R都有f（x）+f（﹣x）=0，且x=1時(shí)，f（x）取極小值．
（1）f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[﹣1，1]時(shí)，證明：函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)處的切線不可能互相垂直：
（3）設(shè)F（x）=|xf（x）|，證明：時(shí)，．

Answer 1

解：（1）因?yàn)椋?IMG style="WIDTH: 15px; HEIGHT: 15px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20121013/20121013115932906221.png">x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）成立，
所以：b=d=0，
由：f'（1）=0，得3a+c=0，
由：，得
解之得：，c=﹣1
從而，函數(shù)解析式為：
（2）由于，f'（x）=x²﹣1，
設(shè)：任意兩數(shù)x₁，x₂∈[﹣1，1]是函數(shù)f（x）圖象上兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
則這兩點(diǎn)的切線的斜率分別是：k₁=f'（x₁）=x₁²﹣1，k₂=f'（x₂）=x₂²﹣1
又因?yàn)椋憨?≤x₁≤1，﹣1≤x₂≤1，
所以，k₁≤0，k₂≤0，得：k₁k₂≥0知：k₁k₂≠﹣1 故，
當(dāng)x∈[﹣1，1] 是函數(shù)f（x）圖象上任意兩點(diǎn)的切線不可能垂直
（3）當(dāng)：時(shí)，x²∈（0，3）且3﹣x²＞0此時(shí)F（x）=|xf（x）|===
當(dāng)且僅當(dāng)：x²=3﹣x²，即，取等號(hào)，故；