Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-9x-1（a＜0），其導(dǎo)函數(shù)滿足：f^′（x）≥f^′（b）=-12．
求：（Ⅰ）a、b的值；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）由于f（x）=x³+ax²-9x-1，求導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²+2ax-9，利用二次函數(shù)的性質(zhì)研究其最小值，得出當(dāng)x=-

a

3

時，f′（x）取得最小值-9-

a 2

3

，從而列式求得a，b的值；
（II）求出函數(shù)的定義域，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0求出x的范圍，寫出區(qū)間形式即得到函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）因為f（x）=x³+ax²-9x-1，
所以f′（x）=3x²+2ax-9，
即當(dāng)x=-

a

3

時，f′（x）取得最小值-9-

a 2

3

，
由題意得-9-

a 2

3

=-12，
⇒a=-3，b=-

a

3

=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）a=-3，∴f（x）=x³-3x²-9x-1，
f′（x）=3x²-6x-9，
由于x∈（-1，3）時
f′（x）＜0，
所以（-1，3）是f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的問題，一般求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0求出x的范圍為單調(diào)遞增區(qū)間；令導(dǎo)函數(shù)小于0求出x的范圍為單調(diào)遞減區(qū)間；注意單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子集．