Question

拋物線C：x²=2py（p＞0）上一點(diǎn)P（m，4）到其焦點(diǎn)的距離為5．
（I）求p與m的值；
（II）若直線l：y=kx-1與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)，l₁、l₂分別是該拋物線在A、B兩點(diǎn)處的切線，M、N分別是l₁、l₂與該拋物線的準(zhǔn)線交點(diǎn)，求證：|

AM

+

BN

|＞4

2

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的定義利用點(diǎn)P（m，4）到其焦點(diǎn)的距離求得p，拋物線方程可得，進(jìn)而把點(diǎn)P代入求得m．
（2）把直線與拋物線方程聯(lián)立根據(jù)判別式大于0求得k的范圍．設(shè)A（x_′1，y₁），B（x_′2，y₂），根據(jù)韋達(dá)定理可得到x_′1+x₂和x₁x₂的表達(dá)式，對拋物線方程進(jìn)行求導(dǎo)得到拋物線在A處的切線的方程，令y=-1代入求得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，同理可求得N點(diǎn)的橫標(biāo)做，進(jìn)而根據(jù)x₁x₂=4，求得M點(diǎn)橫坐標(biāo)和N點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，表示出

AM

和

BN

，根據(jù)x_′1+x₂和y_′1+y₂求得|

AM

+

BN

|的表達(dá)式，根據(jù)k的范圍證明原式．

解答：解：（I）根據(jù)拋物線定義，4+

p

2

=5，解得p=2
∴拋物線方程為x²=4y，
將P（m，4）代入x²=4y，解得m=±4
（II）l：y=kx-1代入x²=4y得x²-4kx+4=0，①
△=16k²-16＞0，k²＞1，k∈（-∞，-1）∪（1，+∞），
設(shè)A（x_′1，y₁），B（x_′2，y₂），則x_′1+x₂=4k，x₁x₂=4
由x2=4y?y=

1

4

x2?y′=

1

2

x，
所以拋物線在A處的切線l₁的方程為y-

1

4

x

2 1

=

1

2

x1(x-x1)，
即y=

1

2

x1x-

1

4

x

2 1

．
令y=-1，得xM=

x 2 1 -4

2x1

．
同理，得xN=

x 2 2 -4

2x2

．x₁、x₂是方程①的兩個實(shí)根，故x₁x₂=4，即x2=

4

x1

，
從而有xN=

x 2 2 -4

2x2

=

( 4 x1 )2-4

8 x1

=

4- x 2 1

2x1

=-xM

AM

=(xm-x1，-1-y1)，

BN

=(-xm-x2，-1-y2)，
∵x_′1+x₂=4k，y_′1+y₂=k（x_′1+x₂）-2=4k²-2
∴|

AM

+

BN

|=

(x1+x2)2+(2+y1+y2)2

=

32(k4+k2)

，
∵k²＞1，∴

32(k4+k2)

＞4

2

，
即|

AM

+

BN

|=

( x12 4 + x22 4 +4)2-4

＞4

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與拋物線的關(guān)系．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．