Question

已知函數(shù)f(x)=-

1

3

x3+x2+(m2-1)x，(x∈R)，其中m＞0．
（1）當m=2時，求曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線的方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間與極值；
（3）已知函數(shù)f（x）有三個互不相同的零點0，x₁，x₂且x₁＜x₂，若對任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)的導函數(shù)，再求出函數(shù)在（2，2）處的導數(shù)即斜率，易求切線方程；
（2）由已知我們易求出函數(shù)的導函數(shù)，令導函數(shù)值為0，我們可求出導函數(shù)的零點，根據(jù)m＞0，我們將函數(shù)的定義域分成若干個區(qū)間，分別在每個區(qū)間上討論導函數(shù)的符號，即可得到函數(shù)的單調區(qū)間與極值；
（3）由題意屬于區(qū)間[x₁，x₂]的點的函數(shù)值均大于f（1），由此計算m的范圍．

解答：解：（1）當m=2時，f(x)=-

1

3

x3+x2+3x
∴f′（x）=-x²+2x+3，
故k=f′（3）=0，
又∵f（3）=9
所以曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線方程為：y=9；
（2）∵f′（x）=-x²+2x+m²-1，
令f′（x）=0，解得x=1-m或x=1+m，因為m＞0，所以1+m＞1-m，
當x變化時，f′（x）、f（x）的變化情況如下表：

∴f（x）在（-∞，1-m），（1+m，+∞）內是減函數(shù)，在（1-m，1+m）內是增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在x=1-m處取得極小值f（1-m），且f(1-m)=-

2

3

m3+m2-

1

3

，
函數(shù)f（x）在x=1+m處取得極大值f（1+m），且f(1+m)=

2

3

m3+m2-

1

3

；
（3）由題設可得f(x)=x(-

1

3

x2+x+m2-1)=-

1

3

x(x-x1)(x-x2)，
∴方程-

1

3

x2+x+m2-1=0有兩個相異的實根x₁，x₂，
故x₁+x₂=3，且△=1+

4

3

(m2-1)＞0
解得：m＜-

1

2

（舍去）或m＞

1

2

，
∵x₁＜x₂，所以2x₂＞x₁+x₂=3，∴x2＞

3

2

＞1，
若 x₁≤1＜x₂，則f(1)=-

1

3

(1-x1)(1-x2)≥0，
而f（x₁）=0，不合題意；
若1＜x₁＜x₂，對任意的x∈[x₁，x₂]，有x＞0，x-x₁≥0，x-x₂≤0，
則f(x)=-

1

3

x(x-x1)(x-x2)≥0，
又f（x₁）=0，所以 f（x）在[x₁，x₂]上的最小值為0，
于是對任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立的充要條件是f(1)=m2-

1

3

＜0，
解得-

3

3

＜m＜

3

3

；     
綜上，m的取值范圍是(

1

2

，

3

3

)．

點評：本題考查函數(shù)的極值和單調性的求法，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性的步驟是：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導數(shù)f′（x）；（3）在函數(shù)的定義域內解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0；（4）確定函數(shù)的單調區(qū)間．解決此類問題的關鍵是熟練掌握利用導數(shù)球函數(shù)的單調區(qū)間與函數(shù)的極值．