【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=(x﹣a)2lnx,a∈R.
(I)若x=e是y=f(x)的極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值;
(Ⅱ)若函數(shù)y=f(x)﹣4e2只有一個零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍
【答案】(1)a=e或a=3e;(2)(-∞,3e)
【解析】
試題解析:(Ⅰ)函數(shù)f(x)=(x﹣a)2 lnx,a∈R.
∴ f′(x)=2(x﹣a)lnx+=(x﹣a)(2lnx+1﹣
),
由x=e是f(x)的極值點(diǎn),所以f′(e)=0
解得a=e或a=3e.
經(jīng)檢驗(yàn),a=e或a=3e符合題意,所以a=e或a=3e;
(Ⅱ)由已知得方程f(x)=4e2只有一個根,
即曲線f(x)與直線y=4e2只有一個公共點(diǎn).
易知f(x)∈(﹣∞,+∞),設(shè),
①當(dāng)a≤0時,易知函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增的,滿足題意;
②當(dāng)0<a≤1時,易知h(x)是單調(diào)遞增的,又h(a)=2lna<0,h(1)=1﹣a≥0,
∴x0∈(a,1),h(x0)=0,
當(dāng)0<x<a時,f′(x)=(x﹣a)(2lnx+1﹣)>o
∴f(x)在(0,a)上是單調(diào)遞增,
同理f(x)在(a,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,
又極大值f(a)=0,所以曲線f(x) 滿足題意;
③當(dāng)a>1時,h(1)=1﹣a<0,h(a)=2lna>0,
∴x0∈(1,a),h(x0)=0,即,得a﹣x0=2x0lnx0,
可得f(x)在(0,x0)上單調(diào)增,在(x0,a)上單調(diào)遞減,在(a,+∞)上單調(diào)遞增
又f(a)=0,若要函數(shù)f(x)滿足題意,只需f(x0)<4e2,即(x0-a)2lnx0<4e2
∴x02ln3x0<e2, 由x0>1,知g(x)=x2ln3x>0,且在[1, +∞)上單調(diào)遞增,
由g(e)=e2,得1<x0<e,因?yàn)閍=x0+2x0lnx0在[1,+∞)上單調(diào)遞增,
所以1<a<3e;
綜上知,a∈(-∞,3e)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某次測量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88,若樣本B數(shù)據(jù)恰好是樣本A數(shù)據(jù)都加上2后所得數(shù)據(jù),則A,B兩樣本的下列數(shù)字特征對應(yīng)相同的是( )
A. 眾數(shù) B. 平均數(shù)
C. 中位數(shù) D. 標(biāo)準(zhǔn)差
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為
,離心率為
,橢圓與
軸與左焦點(diǎn)與點(diǎn)
的距離為
.
(1)求橢圓方程;
(2)過點(diǎn)的直線
與橢圓交于不同的兩點(diǎn)
,當(dāng)
面積為
時,求
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】菜農(nóng)定期使用低害殺蟲農(nóng)藥對蔬菜進(jìn)行噴灑, 以防止害蟲的危害, 但采集上市時蔬菜仍存有少量的殘留農(nóng)藥, 食用時需要用清水清洗干凈, 下表是用清水(單位:千克) 清洗該蔬菜
千克后, 蔬菜上殘留的農(nóng)藥
(單位:微克) 的統(tǒng)計(jì)表:
(1)在下面的坐標(biāo)系中, 描出散點(diǎn)圖, 并判斷變量與
的相關(guān)性;
(2)若用解析式作為蔬菜農(nóng)藥殘量
與用水量
的回歸方程, 令
,計(jì)算平均值
與
,完成以下表格(填在答題卡中) ,求出
與
的回歸方程.(
精確到
)
(3)對于某種殘留在蔬菜上的農(nóng)藥,當(dāng)它的殘留量低于微克時對人體無害, 為了放心食用該蔬菜, 請
估計(jì)需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜?(精確到,參考數(shù)據(jù)
)
(附:線性回歸方程中系數(shù)計(jì)算公式分別為;
,
)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一個鋁合金窗分為上、下兩欄,四周框架和中間隔檔的材料為鋁合金,寬均為6,上欄與下欄的框內(nèi)高度(不含鋁合金部分)的比為1:2,此鋁合金窗占用的墻面面積為28800
,設(shè)該鋁合金窗的寬和高分別為
,鋁合金窗的透光部分的面積為
.
(1)試用表示
;
(2)若要使最大,則鋁合金窗的寬和高分別為多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一對父子參加一個親子摸獎游戲,其規(guī)則如下:父親在裝有紅色、白色球各兩個的甲袋子里隨機(jī)取兩個球,兒子在裝有紅色、白色、黑色球各一個的乙袋子里隨機(jī)取一個球,父子倆取球互相獨(dú)立,兩人各摸球一次合在一起稱為一次摸獎,他們?nèi)〕龅娜齻球的顏色情況與他們獲得的積分對應(yīng)如下表:
所取球的情況 | 三個球均為紅色 | 三個球均為不同色 | 恰有兩球?yàn)榧t色 | 其他情況 |
所獲得的積分 | 180 | 90 | 60 | 0 |
(1)求一次摸獎中,所取的三個球中恰有兩個是紅球的概率;
(2)設(shè)一次摸獎中,他們所獲得的積分為,求
的分布列及均值(數(shù)學(xué)期望)
;
(3)按照以上規(guī)則重復(fù)摸獎三次,求至少有兩次獲得積分為60的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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)的圖象與直線
(
)相切,并且切點(diǎn)橫坐標(biāo)依次成公差為
的等差數(shù)列,且
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(1),求函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)將的圖象向左平移
個單位,得到函數(shù)
的圖象,若函數(shù)
在
上有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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(3)甲乙約定:若甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大,則甲勝,反之,則乙勝,你認(rèn)為此游戲是否公平,說明你的理由.
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