Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{a}^{x}}{x}$-lna，（a＞0，且a≠1）．
（Ⅰ）若a=e，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；（其中e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)$g（x）=\frac{e+1}{ex}$，當(dāng)x∈[-1，0）∪（0，1]時(shí)，曲線y=f（x）與y=g（x）有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）令$h（x）={a^x}-xlna-1-\frac{1}{e}$，x∈[-1，0）∪（0，1]，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（I）定義域（-∞，0）∪（0，+∞），
a=e時(shí)，$f（x）=\frac{e^x}{x}-1，f'（x）=\frac{{{e^x}x-{e^x}}}{x^2}=\frac{{{e^x}（x-1）}}{x^2}$，…（1分）
由f'（x）＞0，得f（x）增區(qū)間為（1，+∞），…（2分）
由f'（x）＜0，得f（x）減區(qū)間為（-∞，0），（0，1）…（3分）
（II）聯(lián)立y=f（x）與y=g（x）得$\frac{a^x}{x}-lna$=$\frac{e+1}{ex}$，${a^x}-xlna-1-\frac{1}{e}=0$
令$h（x）={a^x}-xlna-1-\frac{1}{e}$，x∈[-1，0）∪（0，1]
則h'（x）=a^xlna-lna=lna（a^x-1）…（4分）
（1）當(dāng)a＞1時(shí)，lna＞0，
由h'（x）＞0得，0＜x≤1，h'（x）在（0，1]上單調(diào)遞增
由h'（x）＜0得，-1≤x＜0，h'（x）在[-1，0）上單調(diào)遞減      …（5分）$且h（0）=-\frac{1}{e}＜0$
由題意得$\left\{{\begin{array}{l}{h（1）=a-1na-1-\frac{1}{e}≥0}\\{h（-1）=\frac{1}{a}+1na-1-\frac{1}{e}≥0}\end{array}}\right.$…（6分）
令$F（a）=h（-1）=\frac{1}{a}+1na-1-\frac{1}{e}$，則$F'（a）=-\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a}=\frac{1}{a^2}（a-1）＞0$，F(xiàn)（a）單調(diào)遞增，
∵$F（e）=\frac{1}{e}+1ne-1-\frac{1}{e}=0$，∴a≥e…（7分）
令$G（a）=h（1）=a-1na-1-\frac{1}{e}，G'（a）=1-\frac{1}{a}＞0，G（a）$單調(diào)遞增，
a≥e時(shí)，$h（1）=G（a）≥G（e）=e-1-1-\frac{1}{e}＞0$，∴a≥e合題意…（8分）
（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，lna＜0，
由h'（x）＞0得，0＜x≤1，h'（x）在（0，1]上單調(diào)遞增
由h'（x）＜0得，-1≤x＜0，h'（x）在[-1，0）上單調(diào)遞減       …（9分）$且h（0）=-\frac{1}{e}＜0$
由題意得$\left\{{\begin{array}{l}{h（1）=a-1na-1-\frac{1}{e}≥0}\\{h（-1）=\frac{1}{a}+1na-1-\frac{1}{e}≥0}\end{array}}\right.$…（10分）
令$G（a）=h（1）=a-1na-1-\frac{1}{e}，G'（a）=1-\frac{1}{a}＜0，G（a）$單調(diào)遞減，
∵$G（\frac{1}{e}）=\frac{1}{e}+1n\frac{1}{e}-1-\frac{1}{e}=0$，∴$0＜a≤\frac{1}{e}$…（11分）
令$F（a）=h（-1）=\frac{1}{a}+1na-1-\frac{1}{e}$，則$F'（a）=-\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a}=\frac{1}{a^2}（a-1）＜0$，
∴F（a）單調(diào)遞減$0＜a≤\frac{1}{e}$時(shí)，∵$h（-1）=F（a）≥F（e）=e-1-1-\frac{1}{e}＞0$，∴$0＜a≤\frac{1}{e}$合題意．
綜上，a的取值范圍是$（0，\frac{1}{e}]∪[e，+∞）$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道綜合題．