Question

已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若b=2且h（x）=f（x）-g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)a≠0時(shí)，設(shè)函數(shù)f（x）的圖象C₁與函數(shù)g（x）的圖象C₂交于點(diǎn)P、Q，過(guò)線段PQ的中點(diǎn)R作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點(diǎn)M，N，則是否存在點(diǎn)R，使C₁在點(diǎn)M處的切線與C₂在點(diǎn)N處的切線平行？如果存在，請(qǐng)求出R的橫坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）當(dāng)時(shí)，
則，
∵h(yuǎn)（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），令h'（x）=0，得x=1
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h'（x）＞0，h（x）在（0，1）上是單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞1時(shí)，h'（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上是單調(diào)遞減；
所以，函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）；單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）．
（2）b=2時(shí)，
則
因?yàn)楹瘮?shù)h（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，
所以h′（x）＜0有解．
即當(dāng)x＞0時(shí)，則ax²+2x-1＞0在（0，+∞）上有解．
①當(dāng)a=0時(shí)，y=2x-1為單調(diào)遞增的一次函數(shù)，y=2x-1＞0在（0，+∞）總有解．
②當(dāng)a＞0時(shí)，y=ax²+2x-1為開(kāi)口向上的拋物線，y=ax²+2x-1＞0在（0，+∞）總有解．
③當(dāng)a＜0時(shí)，y=ax²+2x-1為開(kāi)口向下的拋物線，而y=ax²+2x-1＞0在（0，+∞）總有解，
則△=4+4a＞0，且方程y=ax²+2x-1=0至少有一個(gè)正根，
此時(shí)，-1＜a＜0
綜上所述，a的取值范圍為（-1，+∞）
（3）證：設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)是（x₁，y₁），（x₂，y₂），0＜x₁＜x₂
則點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)為
C₁點(diǎn)在M處的切線斜率為，
C₂點(diǎn)N處的切線斜率為
假設(shè)C₁點(diǎn)M處的切線與C₂在點(diǎn)N處的切線平行，則k₁=k₂
即，則
∴．
設(shè)，則①
令．則
因?yàn)閠＞1時(shí)，F(xiàn)'（t）＞0，
所以F（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增．
故F（t）＞F（1）=0
則．這與①矛盾，假設(shè)不成立．
故C₁在點(diǎn)M處的切線與C₂在點(diǎn)N處的切線不平行．
分析：（1）將a、b的值代入，可得，求出其導(dǎo)數(shù)，再在區(qū)間（0，∞）上討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可以得出函數(shù)h（x）單調(diào)區(qū)間；
（2）先求函數(shù)h（x）的解析式，因?yàn)楹瘮?shù)h（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以不等式h'（x）＜0有解，通過(guò)討論a的正負(fù)，得出h′（x）＜0有解，即可得出a的取值范圍；
（3）首先設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)是（x₁，y₁），（x₂，y₂），0＜x₁＜x₂，然后通過(guò)導(dǎo)數(shù)公式以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分別求出曲線C₁在點(diǎn)M處的切線斜率k₁和曲線C₂在點(diǎn)N處的切線斜率k₂，因?yàn)閮蓷l切線平行，所以k₁=k₂，解關(guān)于x₁，x₂，a，b的方程，整理成，再令，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)討論問(wèn)題，根據(jù)其單調(diào)性得出．這與①矛盾，因此假設(shè)不成立．可得C₁在點(diǎn)M處的切線與C₂在點(diǎn)N處的切線不平行．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)與方程的討論等，屬于難題．