Question

已知函數(shù)()

（1）若在點(diǎn)處的切線方程為，求的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）若在上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）,單調(diào)遞減區(qū)間有；（2）

【解析】

試題分析：（1）由題設(shè)知，,解方程組可得的值，進(jìn)而確定函數(shù)的解析式及其導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式,并由不等式的解得到函數(shù)據(jù)的單調(diào)遞減區(qū)間.

（2）函數(shù)在上存在極值點(diǎn)導(dǎo)函數(shù)在上存在零點(diǎn)，且零點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值異號(hào)，因?yàn)椋瑢?dǎo)函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為,所以要分與兩種情詋進(jìn)行討論,后者為一元二次方程的分布問題.

試題解析：

（1）由已知可得

此時(shí)， 4分

由得的單調(diào)遞減區(qū)間為； 7分

（2）由已知可得在上存在零點(diǎn)且在零點(diǎn)兩側(cè)值異號(hào)

⑴時(shí)，，不滿足條件；

⑵時(shí)，可得在上有解且

設(shè)

①當(dāng)時(shí)，滿足在上有解

或此時(shí)滿足

②當(dāng)時(shí)，即在上有兩個(gè)不同的實(shí)根

則無解

綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為. 14分

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的幾何意；2、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性與極值等性質(zhì)中的應(yīng)用；3、二次函數(shù)與一元二次方程.