Question

已知圓F的方程是x²+y²-2y=0，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)是圓心F，過F引傾斜角為α的直線l，l與拋物線和圓依次交于A、B、C、D四點(diǎn)（在直線l上，這四個(gè)點(diǎn)從左至右依次為A、B、C、D），若|AB|，|BC|，|CD|成等差數(shù)列，則α的值為（　　）

• A、±arctan

  2

  2

• B、

  π

  4

• C、arctan

  2

  2

• D、arctan

  2

  2

  或π-arctan

  2

  2

Answer 1

分析：根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)是圓心F，求出p，進(jìn)而求出拋物線的解析式；據(jù)|AB|，|BC|，|CD|成等差數(shù)列，求出AD的長度，A、D兩點(diǎn)是拋物線和直線的交點(diǎn)，聯(lián)立拋物線和直線，利用兩點(diǎn)間距離公式即可求出結(jié)果．

解答：解：∵圓Fx²+y²-2y=0 即x²+（y-1）²=1
∴F（0，1），r=1
∵拋物線以F點(diǎn)為焦點(diǎn)

p

2

=1
∴拋物線方程為：x²=4y
過F點(diǎn)的直線與拋物線相交于A、D兩點(diǎn)，
BC為圓F的直徑|BC|=2
∵|AB|，|BC|，|CD|成等差數(shù)列
∴2|BC|=|AB|+|CD|=|AD|-|BC|=|=|AD|-2=4
∴|AD|=6
∵直線l過F（0，1）則設(shè)直線解析式為：y=kx+1
A、D兩點(diǎn)是過F點(diǎn)的直線與拋物線交點(diǎn)
設(shè)A（x₁，y₁）D（x₂，y₂）則|AD|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=6
聯(lián)立y=kx+1和x²=4y，得x²-4kx-4=0
∴x₁x₂=-4  x₁+x₂=4k
∴|AD|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(x1-x2) 2+k2(x1-x2) 2

= 

(x1-x2) 2(1+k2)

=

[(x1+x2) 2- 4x1x2](1+k2)

=

16(1+k2)2

=6
∴1+k²=

3

2

∴k=±

2

2

∴α的值為：arctan

2

2

或π-arctan

2

2

故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要綜合考查直線與圓、拋物線以及數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是利用兩點(diǎn)間的距離公式；同時(shí)注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解決此類問題．