(2013•黃埔區(qū)一模)給定橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,稱圓心在原點(diǎn)O、半徑是
a2+b2
的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”.已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F(
2
,0)
,其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為
3

(1)求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程;
(2)若點(diǎn)A是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸正半軸的交點(diǎn),B,D是橢圓C上的兩相異點(diǎn),且BD⊥x軸,求
AB
AD
的取值范圍;
(3)在橢圓C的“準(zhǔn)圓”上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作直線l1,l2,使得l1,l2與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn),試判斷l(xiāng)1,l2是否垂直?并說(shuō)明理由.
分析:(1)利用橢圓和其“準(zhǔn)圓”的標(biāo)準(zhǔn)方程及其定義即可得出;
(2)先設(shè)出點(diǎn)B、D的坐標(biāo)并求出點(diǎn)A的坐標(biāo),利用向量的數(shù)量積得出
AD
AB
,再利用點(diǎn)B在橢圓上即可得出其取值范圍;
(3)通過(guò)分類討論,假設(shè)在橢圓C的“準(zhǔn)圓”上任取一點(diǎn)P作直線與橢圓相切,聯(lián)立直線與橢圓的方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系求出直線是否滿足兩條直線垂直的條件即可.
解答:解:(1)由題意可得:a=
3
,c=
2
,b=1,∴r=
(
3
)2+12
=2.
∴橢圓C的方程為
x2
3
+y2=1
,其“準(zhǔn)圓”的方程為x2+y2=4;
(2)由“準(zhǔn)圓”的方程為x2+y2=4,令y=0,解得x=±2,取點(diǎn)A(2,0).
設(shè)點(diǎn)B(x0,y0),則D(x0,-y0).
AB
AD
=(x0-2,y0)•(x0-2,-y0)=(x0-2)2-y02,
∵點(diǎn)B在橢圓
x2
3
+y2=1
上,∴
x02
3
+y02=1
,∴y02=1-
x02
3
,
AD
AB
=(x0-2)2-1+
x02
3
=
4
3
(x0-
3
2
)2

-
3
x0
3
,∴0≤
4
3
(x0-
3
2
)2<7+4
3
,
0≤
AD
AB
<7+4
3
,即
AD
AB
的取值范圍為[0,7+4
3
)

(3)①當(dāng)過(guò)準(zhǔn)圓上點(diǎn)P的直線l與橢圓相切且其中一條直線的斜率為0而另一條斜率不存在時(shí),則點(diǎn)P為
3
,±1)
,此時(shí)l1⊥l2;
②當(dāng)過(guò)準(zhǔn)圓上的點(diǎn)P的直線l的斜率存在不為0且與橢圓相切時(shí),設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),直線l的方程為m(y-y0)=x-x0
聯(lián)立
m(y-y0)=x-x0
x2
3
+y2=1
消去x得到關(guān)于y的一元二次方程:
(3+m2)y2+(2mx0-2m2y0)y+m2y02+x02-2mx0y0-3=0
△=(2mx0-2m2y0)2-4(3+m2)(m2y02+x02-2mx0y0-3)=0,
化為(y02-1)m2-2mx0y0+x02-3=0,
y02-1≠0,m存在,∴m1m2=
x02-3
y02-1

∵點(diǎn)P在準(zhǔn)圓上,∴x02+y02=4,∴x02-3=1-y02,
∴m1m2═-1.
即直線l1,l2的斜率kl1kl2=-1,因此當(dāng)過(guò)準(zhǔn)圓上的點(diǎn)P的直線l的斜率存在不為0且與橢圓相切時(shí),直線l1⊥l2
綜上可知:在橢圓C的“準(zhǔn)圓”上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作直線l1,l2,使得l1,l2與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn),l1⊥l2
點(diǎn)評(píng):熟練掌握橢圓和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其定義、向量的數(shù)量積、直線與橢圓相切問(wèn)題時(shí)聯(lián)立直線與橢圓的方程得出根與系數(shù)的關(guān)系、兩條直線垂直的條件是解題的關(guān)鍵.
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(1)若(1,1)是f(x)的一個(gè)“P數(shù)對(duì)”,求f(2n)(n∈N*);
(2)若(-2,0)是f(x)的一個(gè)“P數(shù)對(duì)”,且當(dāng)x∈[1,2)時(shí)f(x)=k-|2x-3|,求f(x)在區(qū)間[1,2n)(n∈N*)上的最大值與最小值;
(3)若f(x)是增函數(shù),且(2,-2)是f(x)的一個(gè)“類P數(shù)對(duì)”,試比較下列各組中兩個(gè)式子的大小,并說(shuō)明理由.
①f(2-n)與2-n+2(n∈N*);
②f(x)與2x+2(x∈(0,1]).

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1
2
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3
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-1
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12
≤x≤1}=∅
”是假命題,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
(-7,0)
(-7,0)

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