Question

（2010•臺州二模）已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2-

2

3

(t-1)2x．
（I）當(dāng)t=1時，若函數(shù)y=f（x+a）+b是奇函數(shù)，求實數(shù)a，b的值；
（II）當(dāng)t＞1時，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-2，t）上是否存在極值點？若存在，請找出極值點并論證是極大值點還是極小值點；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）當(dāng)t=1時，記h（x）=f（x+a）+b=

1

3

(x+a)3-

1

2

(x+a)2+b，求導(dǎo)函數(shù)得h′（x）=x²+（2a-1）x+a²-a
根據(jù)h（x）為奇函數(shù)，可得h(0)=

1

3

a3-

1

2

a2+b=0，利用 h′（x）為偶函數(shù)，得2a-1=0，從而可求實數(shù)a，b的值；
（II）f/(x)=x2-x-

2

3

(t-1)2，令f′（x）=0解得：x1=

1- 1+ 8 3 (t-1)2

2

，x2=

1+ 1+ 8 3 (t-1)2

2

，進(jìn)而探求在導(dǎo)數(shù)為0的左右附近，導(dǎo)數(shù)符號的改變，從而確定極值點．

解答：解：（I）當(dāng)t=1時，記h（x）=f（x+a）+b=

1

3

(x+a)3-

1

2

(x+a)2+b
則h′（x）=x²+（2a-1）x+a²-a
∵h(yuǎn)（x）為奇函數(shù)
∴h(0)=

1

3

a3-

1

2

a2+b=0（1）------（3分）
且 h′（x）為偶函數(shù)  即2a-1=0（2）------（5分）
由（1）、（2）解得：a=

1

2

，b=

1

12

．------（7分）
（II）f/(x)=x2-x-

2

3

(t-1)2
令f′（x）=0解得：x1=

1- 1+ 8 3 (t-1)2

2

，x2=

1+ 1+ 8 3 (t-1)2

2

------（9分）
（i）當(dāng)1＜t＜4時，則有-2＜x₁＜x₂＜t
∴f′（x）在（-2，x₁）和（x₂，t）為正，在（x₁，x₂）為負(fù)
∴f（x）在（-2，x₁）和（x₂，t）上遞增，在（x₁，x₂）上遞減
此時，x1=

1- 1+ 8 3 (t-1)2

2

為極大值點，x2=

1+ 1+ 8 3 (t-1)2

2

為極小值點；------（12分）
（ii）當(dāng)t＞4時，有x1=

1- 1+ 8 3 (t-1)2

2

＜-2＜x₂＜t
∴f′（x）在（-2，x₂）為負(fù)，（x₂，t）為正
∴f（x）在（-2，x₂）上遞減，在（x₂，t）上遞增
此時，x2=

1+ 1+ 8 3 (t-1)2

2

為極小值點，無極大值點．------（15分）

點評：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，關(guān)鍵是求導(dǎo)函數(shù)，并注意在導(dǎo)數(shù)為0的左右附近，導(dǎo)數(shù)符號的改變．