Question

已知數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和S_n滿(mǎn)足Sn=

1

2

a

2n

+

1

2

an-3，（n∈N*），數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足：點(diǎn)列A_n（n，b_n）在直線(xiàn)2x-y+1=0
（Ⅰ）分別求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記T_n為數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，且cn=bn•2an-2，求T_n；
（Ⅲ）若對(duì)任意的n∈N^*不等式

an+1

(1+ 1 b1+1 )•(1+ 1 b2+1 )…(1+ 1 bn+1 )

-

an

n+2+an

≤0恒成立，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）由已知Sn=

1

2

a

2n

+

1

2

an-3，
∴2Sn=

a

2n

+an-6（1）
當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn-1=

a

2n-1

+an-1-6（2）
兩式相減整理得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，----（2分）
注意到a_n＞0，∴a_n-a_n-1-1=0，∴a_n=n+2，
又當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，解得a₁=3適合，∴a_n=n+2，----（3分）
點(diǎn)A_n（n，b_n）在直線(xiàn)l：y=2x+1上，∴b_n=2n+1．----（4分）
（Ⅱ）∵Cn=bn•2an-2=(2n+1)•2n，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=3•2+5•2²+7•2³+…+（2n+1）•2ⁿ
∴2Tn=3•22+5•23+7•24+…+(2n+1)•2n+1，
錯(cuò)位相減得Tn=(2n-1)•2n+1+2．----（8分）
（Ⅲ）∵對(duì)任意的n∈N*不等式

an+1

(1+ 1 b1+1 )•(1+ 1 b2+1 )…(1+ 1 bn+1 )

-

an

n+2+an

≤0恒成立，
由a＞0，即a≤

1

2n+4

(1+

1

b1+1

)(1+

1

b2+1

)(1+

1

b3+1

)…(1+

1

bn+1

)，---（9分）
令f（n）=

1

2n+4

(1+

1

b1+1

)(1+

1

b2+1

)(1+

1

b3+1

)…(1+

1

bn+1

)，--（10分）
∴f（n+1）=

1

2n+4

(1+

1

b1+1

)(1+

1

b2+1

)(1+

1

b3+1

)…(1+

1

bn+1

)•(1+

1

bn+1+1

)，
∴f（n+1）＞f（n），f（n）單調(diào)遞增，----（12分）
f(n)min=f(1)=

5 6

24

．∴0＜a≤

5 6

24

．----（14分）