已知f（x）=ln（1+x）-
14
x2 是定義在[0，2]上的函數(shù)
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）若f（x）≥c對定義域內(nèi)的x恒成立，求c的取值范圍．．
分析：（1）先求導，然后根據(jù)二次函數(shù)法研究導數(shù)大于或小于等于零，從而得到單調(diào)性．
（2）根據(jù)（1）推導出f（1）為函數(shù)f（x）的極大值，f（0）=0，從而判斷f（0）=0為函數(shù)的最小值，即可得出結(jié)果．
解答：解：（1）f'（x）=
1
1+x
- 
1
2
x
令f'（x）=0得，x2+x-2=0 
  解得x1=-2（舍去），x2=1
當0≤x＜1時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當1＜x≤2時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
（2）由上知：f（1）=ln2-
1
4
為函數(shù)f（x）的極大值．又因為f（0）=0，f（2）=ln3-1＞0
∴f（1）＞f（2）
所以f（0）=0為函數(shù)在[0，2]上的最小值，c≤0
點評：本題主要考查用導數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，基本思路是：當函數(shù)為增函數(shù)時，導數(shù)大于等于零；當函數(shù)為減函數(shù)時，導數(shù)小于等于零；對于不等式恒成立問題，只要求出函數(shù)的最值的就可以得出結(jié)果．屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=ln（1+x）-
x1+ax
（a＞0）．
（I） 若f（x）在（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍；
（II） 若函數(shù)f（x）在x=O處取得極小值，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如果函數(shù)f（x）在區(qū)間D上有定義，且對任意x1，x2∈D，x1≠x2，都有f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上的“凹函數(shù)”．
（Ⅰ）已知f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R），判斷f（x）是否是“凹函數(shù)”，若是，請給出證明；若不是，請說明理由；
（Ⅱ）對于（I）中的函數(shù)f（x）有下列性質(zhì)：“若x∈[a，b]，則存在x0（a，b）使得
f(b)-f(a)
b-a
=f′（x0）”成立．利用這個性質(zhì)證明x0唯一；
（Ⅲ）設A、B、C是函數(shù)f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R）圖象上三個不同的點，求證：△ABC是鈍角三角形．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=ln（x+1）．
（1）若g(x)=
1
4
x2-x+f(x)，求g（x）在[0，2]上的最大值與最小值；
（2）當x＞0時，求證
1
1+x
＜f(
1
x
)＜
1
x
；
（3）當n∈N+且n≥2時，求證：
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n+1
＜f(n)＜1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R）
（1）當a=1時，求f（x）在定義域上的最大值；
（2）已知y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，求a的取值范圍；
（3）求證：
12+1+1
12+1
•
22+2+1
22+2
•
32+3+1
32+3
•…•
n2+n+1
n2+n
＜e．

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