Question

已知函數 ().

（1）若,求函數的極值;

（2）設．

① 當時,對任意,都有成立,求的最大值;

② 設的導函數.若存在,使成立,求的取值范圍.

 

Answer 1

（1）極大值是e－1,極小值

（2）①－1－e－1 ②(－1,＋∞)

【解析】（1）當a＝2,b＝1時,f (x)＝(2＋)ex,定義域為(－∞,0)∪(0,＋∞).

所以f ′(x)＝ex

令f ′(x)＝0,得x1＝－1,x2＝,列表

x	(－∞,－1)	－1	(－1,0)	(0, )		(,＋∞)
f ′(x)			－	－
f (x)	↗	極大值	↘	↘	極小值	↗

 

由表知f (x)的極大值是f (－1)＝e－1,f (x)的極小值是f ()＝

（2）① 因為g (x)＝(ax－a)ex－f (x)＝(ax－－2a)ex,

當a＝1時,g (x)＝(x－－2)ex.

因為g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立,

所以b≤x2－2x－在x∈(0,＋∞)上恒成立． 記h(x)＝x2－2x－ (x＞0),則h′(x)＝.

當0＜x＜1時,h′(x)＜0,h(x)在(0,1)上是減函數;

當x＞1時,h′(x)＞0,h(x)在(1,＋∞)上是增函數;

所以h(x)min＝h(1)＝－1－e－1;所以b的最大值為－1－e－1.      ②因為g (x)＝(ax－－2a)ex,所以g ′(x)＝(＋ax－－a)ex.

由g (x)＋g′(x)＝0,得(ax－－2a)ex＋(＋ax－－a)ex＝0,

整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0.

存在x＞1,使g (x)＋g ′(x)＝0成立.

等價于存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立．

因為a＞0,所以＝.

設u(x)＝ (x＞1),則u′(x)＝．

因為x＞1,u′(x)＞0恒成立,所以u(x)在(1,＋∞)是增函數,所以u(x)＞u(1)＝－1,

所以＞－1,即的取值范圍為(－1,＋∞)