Question

設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F₁（-2，0），左準(zhǔn)線l₁與x軸交于點(diǎn)N（-3，0），過(guò)N點(diǎn)作直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）若以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)F₁，試求直線l的方程．

Answer 1

解：（1）c=2，
∴橢圓方程為（4分）
（2）當(dāng)直線AB⊥x軸時(shí)，
與橢圓無(wú)公共點(diǎn)，∴可設(shè)AB的方程為y=k（x+3）
由
即（3k²+1）x²+18k²x+27k²-6=0①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有（4分）
依題設(shè)有，
即（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=0（2分）x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+k²[x₁x₂+3（x₁+x₂）+9]=0（k²+1）x₁x₂+（3k²+2）（x₁+x₂）+9k²+4=0（4分）
將
∴時(shí)問(wèn)題的解
∴AB的方程為（2分）
分析：（1）根據(jù)題設(shè)知c=2，，由此能求出橢圓方程．
（2）當(dāng)直線AB⊥x軸時(shí)，設(shè)AB的方程為y=k（x+3），由，然后由韋達(dá)定理結(jié)合題設(shè)條件進(jìn)行求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．