Question

甲、乙兩同學進行下棋比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分（無平局），比賽進行到有一個人比對方多2分或比滿8局時停止，設甲在每局中獲勝的概率為p(p＞

1

2

)，且各局勝負相互獨立．已知第二局比賽結(jié)束時比賽停止的概率為

5

8

．
（I）如圖為統(tǒng)計這次比賽的局數(shù)n和甲、乙的總得分S，T的程序框圖．其中如果甲獲勝，輸人a=l．b=0；如果乙獲勝，則輸人a=0，b=1．請問在①②兩個判斷框中應分別填寫什么條件？
（Ⅱ）求p的值；
（Ⅲ）設ξ表示比賽停止時已比賽的局數(shù)，求隨機變量ξ的分布列和Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）程序框圖中的①應填M=2，②應填n=8．（注意：答案不唯一．）
（Ⅱ）依題意得，當甲連勝2局或乙連勝2局時，第二局比賽結(jié)束時比賽停止．所以p2+(1-p)2=

5

8

，由此能求出p的值．
（Ⅲ）依題意得，ξ的可能值為2，4，6，8．分別求出P（ξ=2），P（ξ=4），P（ξ=6），P（ξ=8），由此能求出隨機變量ξ的分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）程序框圖中的①應填M=2，②應填n=8．（注意：答案不唯一．）…（2分）
（Ⅱ）依題意得，當甲連勝2局或乙連勝2局時，第二局比賽結(jié)束時比賽停止．
所以p2+(1-p)2=

5

8

，
解得：p=

3

4

或p=

1

4

，
因為p＞

1

2

，所以p=

3

4

．…（6分）
（Ⅲ）依題意得，ξ的可能值為2，4，6，8．
P(ξ=2)=

5

8

，
P(ξ=4)=(1-

5

8

)×

5

8

=

15

64

，
P(ξ=6)=(1-

5

8

)(1-

5

8

)×

5

8

=

45

512

，
P(ξ=8)=(1-

5

8

)(1-

5

8

)(1-

5

8

)×1=

27

512

．
所以隨機變量ξ的分布列為

ξ	2	4	6	8
P	5 8	15 64	45 512	27 512

故Eξ=2×

5

8

+4×

15

64

+6×

45

512

+8×

27

512

=

803

256

．…（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，是中檔題．解題時要認真審題，仔細解答，注意概率知識的合理運用．