Question

（2006•松江區(qū)模擬）已知a_n≥0，n∈N^*，關(guān)于x的一元二次方程x²-a_nx-1=0的兩實數(shù)根α_n、β_n滿足  α_n＞β_n，且a₁=0，a_n+1=α_n-β_n．
（1）求數(shù)列{α_n}和{β_n}的通項公式；
（2）求

lim

n→∞

β1+β2+…+βn

αn

的值．

Answer 1

分析：（1）由于x的一元二次方程x²-a_nx-1=0的兩實數(shù)根α_n、β_n，利用韋達定理可得α_n+β_n=a_n，α_nβ_n=-1，利用a_n+1=α_n-β_n，進一步可表示a_n+1．從而可得{a_n²}是一個以0為首項，4為公差的等差數(shù)列，故可求數(shù)列{α_n}的通項公式；再借助于a_n+1=α_n-β_nα_n+β_n=a_n，可求{β_n}的通項公式；
（2）將數(shù)列{α_n}和{β_n}的通項公式代入，化簡后利用極限的運算法則可解．

解答：解：（1）∵α_n＞β_n，且a₁=0，a_n+1=α_n-β_n，
∴αn+βn=an，αnβn=-1，an+1=αn-βn=

(αn+βn)2-4αnβn

=

an2+4

⇒an+12-an2=4，
∴{a_n²}是一個以0為首項，4為公差的等差數(shù)列．∴an2=4(n-1)⇒an=2

n-1

，
∴

αn+βn=2 n-1 αn-βn=2 n

⇒αn=

n

+

n-1

，βn=

n-1

-

n

．
（2）

lim

n→∞

β1+β2+…+βn

αn

=

lim

n→∞

-1+1- 2 + 2 - 3 +…+ n-1 - n

n + n-1

=

lim

n→∞

- n

n + n-1

=-

1

2

．

點評：本題的考點是數(shù)列的極限，主要考查數(shù)列通項的研究，考查數(shù)列極限的求法，關(guān)鍵是構(gòu)建新數(shù)列，求數(shù)列通項．