設圓滿足:(1)y軸截圓所得弦長為2,(2)被x軸分成兩段弧，其弧長之比為3∶1，在滿足(1)、(2)的所有圓中，求圓心到直線l:x－2y=0的距離最小的圓的方程.

解:設圓的圓心為P(a，b)，半徑為r，則P到x軸，y軸的距離分別為|b|、|a|，由題設

知圓P截x軸所得劣弧所對圓心角為90°，故圓P截x軸所得弦長為r=2b.

∴r2=2b2.                                                                                   ①

又由y軸截圓得弦長為2，

∴r2=a2＋1.                                                                                ②

由①、②知2b2－a2＝1.又圓心到l:x－2y=0的距離d=，

∴5d2=(a－2b)2=a2＋4b2－4ab≥a2＋4b2－2(a2＋b2)=2b2－a2=1.當且僅當a=b時“=”號  成立.

∴當a=b時，d最小為.由得或

由①得r=.

∴(x－1)2＋(y－1)2=2或(x＋1)2＋(y＋1)2=2為所求.


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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設圓滿足:

①截y軸所得弦長為2;

②被x軸分成兩段圓弧,其弧長的比為3∶1.

在滿足條件①②的所有圓中,求圓心到直線l:x-2y=0的距離最小的圓的方程.

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設圓滿足(1)y軸截圓所得弦長為2.(2)被x軸分成兩段弧，其弧長之比為3∶1，在滿足(1)、(2)的所有圓中，求圓心到直線l:x－2y=0的距離最小的圓的方程．

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設圓滿足(1)y軸截圓所得弦長為2.(2)被x軸分成兩段弧，其弧長之比為3∶1，在滿足(1)、(2)的所有圓中，求圓心到直線l:x－2y=0的距離最小的圓的方程．

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設圓滿足:①截y軸所得弦長為2;②被x軸分成兩段圓弧,其弧長的比為3:1,在滿足條件①、②的所有圓中,求圓心到直線ι:x-2y=0的距離最小的圓的方程.

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