平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，給定兩點(diǎn)A（1，0）、B（0，-2），點(diǎn)C滿足，其中，且

（1）求點(diǎn)C的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)C的軌跡與雙曲線交于兩點(diǎn)M、N，且以MN為直徑的圓過原點(diǎn)，若雙曲線的離心率不大于，求雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)的取值范圍．

 

【答案】

（1）點(diǎn)C的軌跡方程為；（2）雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)的取值范圍是（0，1]．

【解析】(1) 設(shè)C（x，y），根據(jù)，用表示x,y，再利用，可得x,y滿足的關(guān)系式，即點(diǎn)C的軌跡方程.

(2)點(diǎn)C的軌跡方程與雙曲線方程聯(lián)立消去y后得到,

然后把題目條件以MN為直徑的圓過原點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為再坐標(biāo)化得，即，借助韋達(dá)定理可得到和的關(guān)系式，從而再借助的取范圍，確定出a的取值范圍，問題得解.

解：設(shè)C（x，y），因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012091821014115579303/SYS201209182102266430347047_DA.files/image002.png">，則

即

由，得，即點(diǎn)C的軌跡方程為……4分

（2）由，得

依題意知，設(shè)

則

因?yàn)橐訫N為直徑的圓過原點(diǎn)，所以

即，即

得，得……………8分

∵，∴，∴

又，∴，∴，從而

∴雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)的取值范圍是（0，1]．……………12分

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A（3，1）、B（-1，3），若點(diǎn)C滿足
OC
=α
OA
+β
OB
，其中α、β∈R，且α+β=1，則點(diǎn)C的軌跡方程為（　�。�
A、3x+2y-11=0
B、（x-1）2+（y-2）2=5
C、2x-y=0
D、x+2y-5=0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知水平地面上有一籃球，在斜平行光線的照射下，其陰影為一橢圓（如圖），在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，設(shè)橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），籃球與地面的接觸點(diǎn)為H，則|OH|=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，O（0，0），P（6，8），將向量
OP
按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)
π
4
后，得向量
OQ
則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，給定兩點(diǎn)A（1，0）、B（0，-2），點(diǎn)C滿足   
OC
=α
OA
+β
OB
，其中α、β∈R，且α-2β=1
（1）求點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)C的軌跡與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)交于兩點(diǎn)M、N，且以MN為直徑的圓過原點(diǎn)，求證：
1
a2
+
1
b2
為定值；
（3）在（2）的條件下，若橢圓的離心率不大于
2
2
，求橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2006•海淀區(qū)二模）平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩定點(diǎn)A（1，0）、B（0，-1），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足：
OP
=m
OA
+(m-1)
OB
(m∈R)．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P的軌跡與雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)交于相異兩點(diǎn)M、N．若以MN為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，且雙曲線C的離心率等于
3
，求雙曲線C的方程．

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同步練習(xí)冊(cè)答案