Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知E為棱CC₁上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求證：A₁E⊥BD；
（2）當(dāng)E為棱CC₁的中點(diǎn)時(shí)，求直線A₁E與平面A₁BD所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）連AC，設(shè)AC∩BD=O，連A₁O，OE．由已知條件推導(dǎo)出BD⊥面ACEA₁．由此能證明A₁E⊥BD．
（2）由已知條件推導(dǎo)出∠A₁OE為二面角A₁-BD-E的平面角．∠EA₁O是直線A₁E與平面A₁BD所成角．由此能求出直線A₁E與平面A₁BD所成角的正弦．

解答： （1）證明：連AC，設(shè)AC∩BD=O，連A₁O，OE．
由A₁A⊥面ABCD，知BD⊥A₁A，又BD⊥AC，
故BD⊥面ACEA₁．
由A₁E?面ACEA₁，得A₁E⊥BD．
（2）解：在正△A₁BD中，BD⊥A₁O，而BD⊥A₁E，
又A₁O?面A₁OE，A₁E?平面A₁OE，且A₁O∩A₁E=A₁，
故BD⊥面A₁OE，于是BD⊥OE，∠A₁OE為二面角A₁-BD-E的平面角．
正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，設(shè)棱長為2a，且E為棱CC₁的中點(diǎn)，
由平面幾何知識(shí)得EO=

3

a，A1O=

6

a，A₁E=3a，
滿足A1E2=A1O2+EO2，故EO⊥C₁O．
由EO⊥BD，知EO⊥面A₁BD，
故∠EA₁O是直線A₁E與平面A₁BD所成角．
又sin∠EA₁O=

EO

A1E

=

3

3

，
故直線A₁E與平面A₁BD所成角的正弦是

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面甩成角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．