Question

【題目】解答題
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）= ex的單調(diào)性，并證明當(dāng)x＞0時，（x﹣2）ex+x+2＞0；
（Ⅱ）證明：當(dāng)a∈[0，1）時，函數(shù)g（x）= （x＞0）有最小值．設(shè)g（x）的最小值為h（a），求函數(shù)h（a）的值域．

Answer 1

【答案】解：（微軟雅黑）證明：f（x）=

f'（x）=ex（ ）=

∵當(dāng)x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，+∞）時，f'（x）＞0

∴f（x）在（﹣∞，﹣2）和（﹣2，+∞）上單調(diào)遞增

∴x＞0時， ＞f（0）=﹣1

即（x﹣2）ex+x+2＞0

（Ⅱ）g'（x）=

= =

a∈[0，1）

由（Ⅰ）知，當(dāng)x＞0時，f（x）= 的值域為（﹣1，+∞），只有一解使得

，

只需 et≤0恒成立，可得﹣2＜t≤2，

由x＞0，可得

t∈（0，2]

當(dāng)x∈（0，t）時，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)減；

當(dāng)x∈（t，+∞），g'（x）＞0，g（x）單調(diào)增；

h（a）= = =

記k（t）= ，在t∈（0，2]時，k'（t）= ＞0，

故k（t）單調(diào)遞增，

所以h（a）=k（t）∈（ ， ]

【解析】從導(dǎo)數(shù)作為切入點探求函數(shù)的單調(diào)性，通過函數(shù)單調(diào)性來求得函數(shù)的值域，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式進行求導(dǎo)，然后逐步分析即可
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減)，還要掌握函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．