(2012•深圳二模)如圖,已知正方形ABCD在水平面上的正投影(投影線垂直于投影面)是四邊形A′B′C′D′,其中A與A'重合,且BB′<DD′<CC′.
(1)證明AD′∥平面BB′C′C,并指出四邊形AB′C′D′的形狀;
(2)如果四邊形中AB′C′D′中,AD′=
2
,AB′=
5
,正方形的邊長為
6
,求平面ABCD與平面AB′C′D′所成的銳二面角θ的余弦值.
分析:(1)先證明BB°∥CC′∥DD′,在CC′上取點E,使得CE=DD′,連接BE,D′E,證明ABED′是平行四邊形,可得AD′∥BE,從而可證AD′平面BB′C′C,四邊形AB′C′D′是平行四邊形;
(2)先證明AC′⊥B′C′,根據(jù)正方形ABCD在水平面上的正投影(投影線垂直于投影面)是四邊形A′B′C′D′,可得平面ABCD與平面AB′C′D′所成的銳二面角θ的余弦值=
SAB′C′D′
SABCD
,計算面積即可求得結(jié)論.
解答:(1)證明:依題意,BB′⊥平面AB′C′D′,CC′⊥平面AB′C′D′,DD′⊥平面AB′C′D′,
所以BB°∥CC′∥DD′.             …(2分)
在CC′上取點E,使得CE=DD′,
連接BE,D′E,如圖1.

因為CE∥DD′,且CE=DD′,所以CDD′E是平行四邊形,∴D′E∥DC,且D′E=DC.
又ABCD是正方形,∴DC∥AB,且DC=AB,
所以D′E∥AB,且D′E=AB,故ABED′是平行四邊形,…(4分)
從而AD′∥BE,又BE?平面BB′C′C,AD′?平面BB′C′C,
所以AD′∥平面BB′C′C.           …(6分)
四邊形AB′C′D′是平行四邊形.…(7分)
(2)依題意,在Rt△ABB′中,BB′=1,在Rt△ADD′中,DD′=2,
所以CC′=BB′+DD′-AA′=1+2-0=3.   …(8分)
連接AC,AC′,如圖2,
在Rt△ACC′中,AC′=
3

所以AC′2+B′C′2=AB′2,故AC′⊥B′C′.…(10分)
由題意,正方形ABCD在水平面上的正投影(投影線垂直于投影面)是四邊形A′B′C′D′,
所以平面ABCD與平面AB′C′D′所成的銳二面角θ的余弦值=
SAB′C′D′
SABCD
.  …(12分)
而SABCD=6,SAB′C′D′=B′C′×AC′=
2
×
3=
6
,所以cosθ=
6
6
,
所以平面ABCD與平面AB′C′D′所成的銳二面角θ的余弦值為
6
6
. …(14分)
點評:本題考查線面平行,考查面面角,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
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