Question

已知數(shù)列{a_n}中a₁=2，點(diǎn)（a_n，a_n+1） 在函數(shù)f（x）=x²+2x的圖象上，n∈N^*．?dāng)?shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿(mǎn)足
b₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n²=b_n（S_n-

1

2

）
（1）證明數(shù)列{lg（1+a_n）}是等比數(shù)列；
（2）求S_n；
（3）設(shè)T_n=（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）c_n=

2Sn

2n+1

，求T_n•（c₁+c₂+c₃+…+c_n）的值．

Answer 1

分析：（1）由已知前件得到項(xiàng)之間的關(guān)系式，整理兩邊取對(duì)數(shù)可得要證的數(shù)列，要證一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列，就是要證明這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的之比是一個(gè)常數(shù)．
（2）把S_n²=b_n（S_n-

1

2

）式子中的b_n換為S_n，得到前n項(xiàng)和的一個(gè)關(guān)系式，仔細(xì)觀察，得出{

1

Sn

}為等差數(shù)列，S_n可求．
（3）由（1）可求1+a_n由冪的運(yùn)算得出T_n=（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n），由（2）可得c_n，由裂項(xiàng)法求出c₁+c₂+c₃+…+c_n，T_n•（c₁+c₂+c₃+…+c_n）的值可求．

解答：解：（1）由已知：∵a_n+1=a_n²+2a_n∴a_n+1+1=（a_n+1）²，
∵a₁=2，a_n+1＞1，兩邊取對(duì)數(shù)得lg（1+a_n+1）=2lg（1+a_n），即

lg(1+an+1)

lg(1+an)

=2，
∴{lg（1+a_n）}是公比為2的等比數(shù)列．
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，S_n²=b_n（S_n-

1

2

）=（S_n-S_n-1）（S_n-

1

2

），
展開(kāi)整理得：S_n-1-S_n=2S_nS_n-1，
若S_n=0，則b_n=0，則S₂=1+b₂≠0矛盾，∴S_n≠0，
在等式兩側(cè)同除以S_nS_n-1得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，
∴{

1

Sn

}為等差數(shù)列，∴

1

Sn

=1+2（n-1）=2n-1，
∴Sn=

1

2n-1

．
（3）由（1）知∴l(xiāng)g（1+a_n）=2^n-1lg3=lg32n-1，∴1+a_n=32n-1，
∴T_n=（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）=320•321•322…32n-1=31+2+22+…+2n-1=32n-1，
∵c_n=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，，
c₁+c₂+c₃+…+c_n=1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

=1-

1

2n+1

∴T_n•（c₁+c₂+c₃+…+c_n）=32n-1（1-

1

2n+1

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列求和的裂項(xiàng)法、等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，用定義來(lái)證明問(wèn)題，此題訓(xùn)練的學(xué)生的觀察能力，綜合運(yùn)用信息的能力，用裂項(xiàng)法求和時(shí)，注意項(xiàng)的形式，分子上是一個(gè)常數(shù)，分母上可分解成兩個(gè)關(guān)于n的一次式相乘．