Question

6．已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=6cosθ}\\{y=4sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），在同一平面直角坐標(biāo)系中，將曲線C上的點(diǎn)按坐標(biāo)變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{1}{3}x}\\{y′=\frac{1}{4}y}\end{array}\right.$得到曲線C′．
（1）求曲線C′的普通方程；
（2）若點(diǎn)A在曲線C′上，點(diǎn)D（1，3），當(dāng)點(diǎn)A在曲線C′上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求AD中點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）求出曲線C′的參數(shù)方程，再求曲線C′的普通方程；
（2）利用代入法，求AD中點(diǎn)P的軌跡方程．

解答 解：（1）將$\left\{\begin{array}{l}{x=6cosθ}\\{y=4sinθ}\end{array}\right.$代入$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{1}{3}x}\\{y′=\frac{1}{4}y}\end{array}\right.$，得到曲線C′的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x′=2cosθ}\\{y′=sinθ}\end{array}\right.$，
∴曲線C′的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y），A（x₀，y₀），
又D（1，3），且AD的中點(diǎn)為P，
∴x₀=2x-1，y₀=2y-3，
又點(diǎn)A在曲線C′上，代入C′的普通方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，
得 （2x-1）²+4（2y-3）²=4，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為 （2x-1）²+4（2y-3）²=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，考查代入法求軌跡方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．