如圖,A是拋物線x2=4y上異于原點的任意一點,F(xiàn)為拋物線的焦點,l為拋物線在A點處的切線,點B、C在拋物線上,AB⊥l且交y軸于M,點A、F、C三點共線,直線BC交y軸于N.
(1)求證:|AF|=|MF|;
(2)求|MN|的最小值.
分析:(1)設(shè)A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2),求出直線l的斜率,可得AB的斜率,從而可得直線AB的方程,令x=0,確定M的坐標(biāo),從而可得|MF|=y0+1,由拋物線的定義可得|AF|=y0+1,則可得結(jié)論;
(2)先確定BC的斜率,進(jìn)而可得BC的方程,進(jìn)一步確定N的坐標(biāo),可得|MN|,利用基本不等式,可得|MN|的最小值.
解答:(1)證明:設(shè)A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2),
∵x2=4y,∴y=
1
4
x2
,∴y′=
1
2
x
,∴直線l的斜率k1=
x0
2

∵AB⊥l,∴kAB=-
2
x0
,∴直線AB的方程為y-y0=-
2
x0
(x-x0
令x=0,則y=y0+2,∴M(0,y0+2)
∵F(0,1),∴|MF|=y0+1
由拋物線的定義可得|AF|=y0+1,
∴|AF|=|MF|;
(2)解:直線AB的方程代入拋物線方程,消去y可得
1
4
x2+
2
x0
x-2-y0=0
∴x1+x0=-
8
x0
,∴x1=-x0-
8
x0

設(shè)直線AC:y=kx+1代入拋物線方程,消去y可得x2-4kx-4=0,∴x0x2=-4,∴x2=-
4
x0

∴kBC=-
x0
4
-
3
x0
,∴直線BC的方程為y-y2=(-
x0
4
-
3
x0
)(x-x2)
令x=0得y=(-
x0
4
-
3
x0
)(-x2)+y2,代入x2=-
4
x0
,y2=
4
x
2
0
,化簡得y=-1-
8
x
2
0

∴N(0,-1-
8
x
2
0
),∴|MN|=y0+2+1+
8
x
2
0
=
x
2
0
4
+
8
x
2
0
3≥3+2
2
當(dāng)且僅當(dāng)x04=32時等號成立,
∴|MN|的最小值為3+2
2
點評:本題考查拋物線的定義,考查直線方程的求解,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查基本不等式的運用,屬于中檔題.
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(1)求證:|AF|=|MF|;
(2)求|MN|的最小值.

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