若矩陣A有特征向量i=（
 
1
0
）和j=（
 
0
1
），且它們所對應(yīng)的特征值分別為λ1=2，λ2=-1．
（1）求矩陣A及其逆矩陣A-1；
（2）求逆矩陣A-1的特征值及特征向量；
（3）對任意向量α=（
 
x
y
），求（（A-1）20α．
分析：（1）設(shè)矩陣M=
ab
cd
則根據(jù)矩陣A的屬于λ1=2的特征向量，矩陣A的屬于λ2=-1的特征向量，則結(jié)合特征向量的定義，由此能夠求出矩陣A及其逆矩陣．
（2）根據(jù)矩陣A-1的特征多項式求出矩陣A-1的特征值，
（3）由于α=x
1 
0 
+y
0 
1 
，故（（A-1）20α=x
λ
20
1
1 
0 
+y
λ
20
2
0 
1 
，求出值即可．
解答：解：（1）解：設(shè)矩陣M=
ab
cd
，這里a，b，c，d∈R，
則
ab
cd
1 
0 
=2
1 
0 
，
ab
cd
0 
1 
=-
0 
1 
，解得a=2，b=0，c=0，d=-1
∴A=
20
0-1
，A-1=
1
2
0
0-1

（2）A-1特征多項式f（λ）=
λ-
1
2
0
0-1
=（λ-
1
2
）（λ+1）=0，得λ=
1
2
，或λ=-1，
當λ=
1
2
時，對應(yīng)的特征向量為
1 
0 
；當λ=-1時，對應(yīng)的特征向量為
0 
1 
；
（3）由α=x
1 
0 
+y
0 
1 
，
∴（（A-1）20α=x
λ
20
1
1 
0 
+y
λ
20
2
0 
1 
=
x
220
 
y 
．
點評：本題考查矩陣的性質(zhì)和應(yīng)用，考查學生會利用二階矩陣的乘法法則進行運算，會求矩陣的特征值和特征向量．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）選修4-2：矩陣與變換
若矩陣A有特征值λ1=2，λ2=-1，它們所對應(yīng)的特征向量分別為e1=
1
0
和e2=
0
1
．
（I）求矩陣A；
（II）求曲線x2+y2=1在矩陣A的變換下得到的新曲線方程．
（2）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
已知曲線C1的參數(shù)方程為
x=2sinθ
y=cosθ
(θ為參數(shù)），C2的參數(shù)方程為
x=2t
y=t+1
(t為參數(shù)）
（I）若將曲線C1與C2上所有點的橫坐標都縮短為原來的一半（縱坐標不變），分別得到曲線C′1和C′2，求出曲線C′1和C′2的普通方程；
（II）以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，求過極點且與C′2垂直的直線的極坐標方程．
（3）選修4-5：不等式選講
設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R，
（I）求關(guān)于x的不等式f（x）≤5的解集；
（II）若g(x)=
1
f(x)+m
的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

若矩陣A有特征向量i=（
 10
）和j=（
 01
），且它們所對應(yīng)的特征值分別為λ1=2，λ2=-1．
（1）求矩陣A及其逆矩陣A-1；
（2）求逆矩陣A-1的特征值及特征向量；
（3）對任意向量α=（
 xy
），求（（A-1）20α．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年福建省福州三中高三（上）期中數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

（1）選修4-2：矩陣與變換
若矩陣A有特征值λ1=2，λ2=-1，它們所對應(yīng)的特征向量分別為．
（I）求矩陣A；
（II）求曲線x2+y2=1在矩陣A的變換下得到的新曲線方程．
（2）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
已知曲線C1的參數(shù)方程為為參數(shù)），C2的參數(shù)方程為為參數(shù)）
（I）若將曲線C1與C2上所有點的橫坐標都縮短為原來的一半（縱坐標不變），分別得到曲線C′1和C′2，求出曲線C′1和C′2的普通方程；
（II）以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，求過極點且與C′2垂直的直線的極坐標方程．
（3）選修4-5：不等式選講
設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R，
（I）求關(guān)于x的不等式f（x）≤5的解集；
（II）若的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013年高考數(shù)學復習卷D（十二）（解析版） 題型：解答題

若矩陣A有特征向量i=（）和j=（），且它們所對應(yīng)的特征值分別為λ1=2，λ2=-1．
（1）求矩陣A及其逆矩陣A-1；
（2）求逆矩陣A-1的特征值及特征向量；
（3）對任意向量α=（），求（（A-1）20α．

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