Question

7．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中．

（Ⅰ）如圖（1）求CD₁與平面A₁B₁CD所成的角
（Ⅱ）如圖（2）求證：A₁C∥平面AED₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接 D₁A交A₁D于點(diǎn)O，連接OC，則AD₁⊥A₁D，A₁B₁⊥AD₁，從而AD₁⊥平面A₁B₁ CD，∠D₁CO是CD₁與平面所成的角，由此能求出CD₁與平面A₁B₁ CD所成的角．
（Ⅱ）連接A₁D交AD₁于點(diǎn)O，連結(jié)OE，則OE∥A₁C，由此能證明A₁C∥平面AED₁．

解答 （本題滿分12分）．

解：（Ⅰ）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，連接 D₁A交A₁D于點(diǎn)O，
連接OC，如圖（1），
則AD₁⊥A₁D
又∵A₁B₁⊥平面ADD₁A₁，AD₁?平面ADD₁A₁，
∴A₁B₁⊥AD₁
又∵A₁B₁∩A₁ D=A₁，∴AD₁⊥平面A₁B₁ CD，
∴∠D₁CO是CD₁與平面所成的角，
在Rt△D₁OC中，$O{D_1}=\frac{1}{2}{D_1}C$，∴∠D₁OC=30°，
∴CD₁與平面A₁B₁ CD所成的角為30°．
證明：（Ⅱ）連接A₁D交AD₁于點(diǎn)O，連結(jié)OE，如圖（2）
則OD=OA₁，
又DE=CE，∴OE∥A₁C
∵A₁C?平面AED₁，OE?平面AED₁，
∴A₁C∥平面AED₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角的求法，考查線面平行的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．