Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-a|+2x．若存在a∈[-3，3]，使得關(guān)于x的方程f（x）=tf（a）有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（　　）

A．( 9 8 ， 5 4 )

B．(1， 25 24 )

C．(1， 9 8 )

D．(1， 5 4 )

Answer 1

當(dāng)-2≤a≤2時(shí)，f（x）在R上是增函數(shù)，
則關(guān)于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，…（2分）
則當(dāng)a∈（2，3]時(shí)，由f（x）=

x2+(2-a)x，x≥a -x2+(2+a)x，x＜a

，
得x≥a時(shí)，f（x）=x²+（2-a）x，對(duì)稱軸x=

a-2

2

＜a，
則f（x）在x∈[a，+∞）為增函數(shù)，此時(shí)f（x）的值域?yàn)閇f（a），+∞）=[2a，+∞），
x＜a時(shí)，f（x）=-x²+（2+a）x，對(duì)稱軸x=

a+2

2

＜a，
則f（x）在x∈（-∞，

a+2

2

]為增函數(shù)，此時(shí)f（x）的值域?yàn)椋?∞，

(a+2)2

4

]，
f（x）在x∈[

a+2

2

，a）為減函數(shù)，此時(shí)f（x）的值域?yàn)椋?a，

(a+2)2

4

]；
由存在a∈（2，3]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三個(gè)不相等的實(shí)根，
則2ta∈（2a，

(a+2)2

4

），
即存在a∈（2，3]，使得t∈（1，

(a+2)2

8a

）即可，
令g（a）=

(a+2)2

8a

=

1

8

（a+

4

a

+4），
只要使t＜（g（a））_max即可，而g（a）在a∈（2，3]上是增函數(shù)，
∴（g（a））max=g（3）=

25

24

，
故實(shí)數(shù)t的取值范圍為（1，

25

24

）；…（15分）
同理可求當(dāng)a∈[-4，-2）時(shí)，t的取值范圍為（1，

25

24

）；
綜上所述，實(shí)數(shù)t的取值范圍為（1，

25

24

）．…（17分）
故選B．