已知函數(shù)f(x)=2cos
x
2
(cos
x
2
+asin
x
2
)（a∈R），且f(x)≤|f(
π
3
)|對x∈R恒成立．則a=
 
．
分析：f（x）解析式利用單項式乘以多項式法則計算，再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)f（x）≤|f（
π
3
）|對x∈R恒成立，根據(jù)正弦函數(shù)的值域列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
解答：解：f（x）=2cos2
x
2
+2asin
x
2
cos
x
2
=cosx+1+asinx=
a2+1
sin（x+α）+1（其中sinα=
1
a2+1
，cosα=
a
a2+1
），
∵f（
π
3
）=cos
π
3
+1+asin
π
3
=
1
2
+1+
3
2
a=
3+
3
a
2
，f（x）≤|f（
π
3
）|對x∈R恒成立，
∴
a2+1
+1=|
3+
3
a
2
|，
兩邊平方得：a2+1=
(
3
a+1)2
4
，即a2-2
3
a+3=0，
變形得：（a-
3
）2=0，
解得：a=
3
．
故答案為：
3
點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，樹林里掌握公式是解本題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實數(shù)x均成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當x=
4π
3
4π
3
時，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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