Question

已知（1-2x）⁷=a+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷，求
（Ⅰ）a+a₁+…+a₇的值
（Ⅱ）a+a₂+a₄+a₆及a₁+a₃+a₅+a₇的值；
（Ⅲ）各項二項式系數(shù)和．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）在（1-2x）⁷=a+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷中，令x=1，能求出a+a₁+…+a₇的值．
（Ⅱ）在（1-2x）⁷=a+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷中，令x=-1，得a-a₁+a₂-a₃+…+a₆-a₇=2187，令x=0，得a=1，由此能求出a+a₂+a₄+a₆及a₁+a₃+a₅+a₇的值．
（Ⅲ）各項二項式系數(shù)和C₇+C₇¹+…+C₇⁷=2⁷=128．
解答：解：（Ⅰ）令x=1，則a+a₁+…+a₇=-1，（2分）
（Ⅱ）令x=-1，則a-a₁+a₂-a₃+…+a₆-a₇=2187，令x=0，則a=1，
于是a₁+a₂+a₃+…+a₇=-2，
a₁+a₃+a₅=-1094，；（5分）
a+a₂+a₄+a₆=1093．（8分）
（Ⅲ）各項二項式系數(shù)和C₇+C₇¹+…+C₇⁷=2⁷=128．（12分）
點評：本題考查二項式系數(shù)的性質和應用，解題時要注意合理地選用公式．